Calcule \frac{d z}{d t} pelo dois processos descritos no Exemplo 2.
a) z=\operatorname{sen} x y, x=3 t e y=t^{2}.
b) z=x^{2}+3 y^{2}, x=\operatorname{sen} t e y=\cos t.
c) z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right), x=\operatorname{sen} 3 t \mathrm{e} y=\cos 3 t.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dz}{dt} por dois processos (1: regra da cadeia usando derivadas parciais; 2: substituir x(t),y(t) em z e derivar) para cada um dos itens a), b) e c).
Dados fornecidos:
a) z=\sin(xy), x=3t e y=t^{2}.
b) z=x^{2}+3y^{2}, x=\sin t e y=\cos t.
c) z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr), x=\sin 3t e y=\cos 3t.
Observação: para cada item vou apresentar os dois processos e explicar cada passo das fórmulas usadas.

Passo 2

Conceito importante (regra da cadeia para funções de várias variáveis) e explicação didática:
Se z=z(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então \dfrac{dz}{dt} é dado pela regra da cadeia
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
O que cada termo significa:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x: trata y como constante e mede a sensibilidade de z quando x varia.
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é análogo, variando y e mantendo x fixo.
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
    Intuição: pequenas variações \Delta x e \Delta y geram \Delta z \approx z_x\Delta x + z_y\Delta y. Como \Delta x\approx x'(t)\Delta t e \Delta y\approx y'(t)\Delta t, divide por \Delta t e obtém-se a fórmula acima.
Agora aplicamos isso item a item.

Passo 3

Item a) usando o método 1 (regra da cadeia com parciais).
  1. Calcular as derivadas parciais de z=\sin(xy).
    Aplique a regra da cadeia interna: se z=\sin(u) com u=xy, então z_u=\cos(u) e
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y,
\frac{\partial z}{\partial y}=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
  1. Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir de x=3t e y=t^{2}:
\frac{dx}{dt}=3,\qquad \frac{dy}{dt}=2t.
  1. Aplicar a fórmula da regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\bigl(y\cos(xy)\bigr)\cdot 3+\bigl(x\cos(xy)\bigr)\cdot 2t.
Factorizando \cos(xy):
\frac{dz}{dt}=\cos(xy)\bigl(3y+2t x\bigr).
  1. Substituir x=3t e y=t^{2} (para simplificar a expressão):
3y+2t x=3t^{2}+2t\cdot(3t)=3t^{2}+6t^{2}=9t^{2},
e xy=(3t)(t^{2})=3t^{3}. Portanto
\frac{dz}{dt}=9t^{2}\cos(3t^{3}).

Passo 4

Item a) usando o método 2 (substituir e derivar direto).
  1. Substituir x=3t e y=t^{2} em z=\sin(xy):
z(t)=\sin\bigl((3t)(t^{2})\bigr)=\sin(3t^{3}).
  1. Derivar diretamente em relação a t. Use a regra da cadeia: se z(t)=\sin(v(t)) então z'(t)=\cos(v(t))\cdot v'(t). Aqui v(t)=3t^{3} e v'(t)=9t^{2}. Logo
\frac{dz}{dt}=\cos(3t^{3})\cdot 9t^{2}=9t^{2}\cos(3t^{3}).
Observação: os dois métodos dão a mesma expressão, é uma boa checagem.

Passo 5

Item b) usando o método 1 (regra da cadeia com parciais).
  1. Função z=x^{2}+3y^{2}. Calcule as parciais:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=6y.
  1. x=\sin t e y=\cos t. Então
\frac{dx}{dt}=\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=-\sin t.
  1. Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=2x\cdot\cos t + 6y\cdot(-\sin t)=2x\cos t-6y\sin t.
  1. Substituir x=\sin t e y=\cos t:
\frac{dz}{dt}=2\sin t\cos t -6\cos t\sin t=(2-6)\sin t\cos t=-4\sin t\cos t.
  1. Observação prática de simplificação trigonométrica: usando \sin(2t)=2\sin t\cos t, podemos escrever
-4\sin t\cos t=-2\sin(2t).

Passo 6

Item b) usando o método 2 (substituir e derivar direto).
  1. Substituir em z:
z(t)=\sin^{2}t+3\cos^{2}t.
  1. Derivar: \dfrac{d}{dt}\sin^{2}t=2\sin t\cos t e \dfrac{d}{dt}\cos^{2}t=2\cos t\cdot(-\sin t)=-2\sin t\cos t. Então
\frac{dz}{dt}=2\sin t\cos t +3\cdot(-2\sin t\cos t)=2\sin t\cos t -6\sin t\cos t=-4\sin t\cos t,
novamente igual ao método 1 (e equivalente a -2\sin 2t).

Passo 7

Item c) usando o método 1 (regra da cadeia com parciais).
  1. Comece por z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr). A derivada parcial de \ln(u) é \dfrac{1}{u}u'. Aqui u=1+x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.
  1. Como x=\sin 3t e y=\cos 3t,
\frac{dx}{dt}=3\cos 3t,\qquad \frac{dy}{dt}=-3\sin 3t.
  1. Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 3\cos 3t + \frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot(-3\sin 3t).
  1. Fator comum \dfrac{6}{1+x^{2}+y^{2}}:
\frac{dz}{dt}=\frac{6}{1+x^{2}+y^{2}}\bigl(x\cos 3t - y\sin 3t\bigr).
  1. Substituir x=\sin 3t e y=\cos 3t no fator entre parênteses:
x\cos 3t - y\sin 3t=\sin 3t\cos 3t - \cos 3t\sin 3t=0.
Portanto \dfrac{dz}{dt}=0.

Passo 8

Item c) usando o método 2 (substituir e derivar direto).
  1. Substituir em z:
z(t)=\ln\bigl(1+\sin^{2}3t+\cos^{2}3t\bigr).
  1. Usar identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1:
z(t)=\ln\bigl(1+1\bigr)=\ln 2,
que é constante. Portanto a derivada em relação a t é
\frac{dz}{dt}=0,
concordando com o método 1.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dz}{dt}=9t^{2}\cos(3t^{3})
(b) \displaystyle \frac{dz}{dt}=-2\sin(2t)
(c) \displaystyle \frac{dz}{dt}=0

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