Calcule
pelo dois processos descritos no Exemplo 2.
a)
e
.
b)
e
.
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
por dois processos (1: regra da cadeia usando derivadas parciais; 2: substituir
em
e derivar) para cada um dos itens a), b) e c).
Dados fornecidos:
a) ,
e
.
a)
b)
,
e
.
c)
,
e
.
Observação: para cada item vou apresentar os dois processos e explicar cada passo das fórmulas usadas.
Passo 2
Conceito importante (regra da cadeia para funções de várias variáveis) e explicação didática:
Se e
, então
é dado pela regra da cadeia
Se
O que cada termo significa:
-
é a derivada parcial de em relação a : trata como constante e mede a sensibilidade de quando varia. -
é análogo, variando e mantendo fixo. -
e são as derivadas de e em relação a .
Intuição: pequenas variaçõese geram . Como e , divide por e obtém-se a fórmula acima.
Agora aplicamos isso item a item.
Passo 3
Item a) usando o método 1 (regra da cadeia com parciais).
- Calcular as derivadas parciais de
.
Aplique a regra da cadeia interna: secom , então e
- Calcular
e a partir de e :
- Aplicar a fórmula da regra da cadeia:
Factorizando
:
- Substituir
e (para simplificar a expressão):
e
. Portanto
Passo 4
Item a) usando o método 2 (substituir e derivar direto).
- Substituir
e em :
- Derivar diretamente em relação a
. Use a regra da cadeia: se então . Aqui e . Logo
Observação: os dois métodos dão a mesma expressão, é uma boa checagem.
Passo 5
Item b) usando o método 1 (regra da cadeia com parciais).
- Função
. Calcule as parciais:
-
e . Então
- Aplicar a regra da cadeia:
- Substituir
e :
- Observação prática de simplificação trigonométrica: usando
, podemos escrever
Passo 6
Item b) usando o método 2 (substituir e derivar direto).
- Substituir em
:
- Derivar:
e . Então
novamente igual ao método 1 (e equivalente a
).
Passo 7
Item c) usando o método 1 (regra da cadeia com parciais).
- Comece por
. A derivada parcial de é . Aqui , então
- Como
e ,
- Aplicar a regra da cadeia:
- Fator comum
:
- Substituir
e no fator entre parênteses:
Portanto
.
Passo 8
Item c) usando o método 2 (substituir e derivar direto).
- Substituir em
:
- Usar identidade trigonométrica
:
que é constante. Portanto a derivada em relação a
é
concordando com o método 1.
Resposta
(a)
(b)
(c)