(2 pts) Encontre a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: a solução geral
que satisfaz a equação para todo
. Não resolvo nada ainda, apenas identifiquei o pedido e os dados.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com RHS igual a zero):
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação polinomial (equação característica) para
:
Resolvendo essa quadrática (podemos fatorar):
logo as raízes são
e
, distintas. Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (porque a EDO é de segunda ordem).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Método usado: método dos coeficientes indeterminados. Ideia rápida e didática: tentamos um tipo de função parecida com o RHS; para RHS igual a
normalmente tentaríamos
. Mas atenção: se
já aparece na solução homogênea (i.e. se
é raiz da característica), esse tentativa falha porque
é solução da homogênea e levaria a 0 na parte esquerda. Para corrigir isso, multiplicamos por
até que a tentativa seja independente da homogênea. Aqui
é raiz simples, então multiplicamos por
uma vez. Logo escolhemos a forma tentativa
com
constante a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
passo a passo (sempre explicando cada termo):
Derivando usando regra do produto:
Derivando novamente:
usar . Derivando termo a termo:
usar
(pela regra do produto: derive
e mantenha
, e derive
multiplicando por
). Somando,
Passo 5
Substituímos
,
e
na expressão da esquerda da EDO e simplificamos:
Fatorando
e agrupando termos:
Agora somamos coeficientes constantes e coeficientes de
separadamente:
coeficiente constante: .
coeficiente de :
.
Portanto a expressão simplifica para
coeficiente constante:
coeficiente de
Portanto a expressão simplifica para
Queremos que isso seja igual ao RHS
, então impomos
Cancelando
(não é zero), obtemos
Passo 6
Com
temos a solução particular
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Breve comentário pedagógico: é comum, por clareza, escrever
As constantes
absorvem qualquer combinação linear que seja solução homogênea.