(2 pts) Encontre a solução geral de
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+8y=e^{2x}.
Informações dadas:
\text{equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, RHS } e^{2x}.çã
O que precisamos encontrar: a solução geral y(x) que satisfaz a equação para todo x. Não resolvo nada ainda, apenas identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com RHS igual a zero):
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+8y=0.
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação polinomial (equação característica) para r:
r^2-6r+8=0.
Resolvendo essa quadrática (podemos fatorar):
r^2-6r+8=(r-2)(r-4)=0,
logo as raízes são r=2 e r=4, distintas. Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{2x}+C_2 e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (porque a EDO é de segunda ordem).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+8y=e^{2x}.
Método usado: método dos coeficientes indeterminados. Ideia rápida e didática: tentamos um tipo de função parecida com o RHS; para RHS igual a e^{2x} normalmente tentaríamos y_p=Ae^{2x}. Mas atenção: se e^{2x} já aparece na solução homogênea (i.e. se r=2 é raiz da característica), esse tentativa falha porque Ae^{2x} é solução da homogênea e levaria a 0 na parte esquerda. Para corrigir isso, multiplicamos por x até que a tentativa seja independente da homogênea. Aqui r=2 é raiz simples, então multiplicamos por x uma vez. Logo escolhemos a forma tentativa
y_p=A x e^{2x},
com A constante a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p passo a passo (sempre explicando cada termo):
y_p = A x e^{2x}.
Derivando usando regra do produto:
y_p' = A\cdot e^{2x} + A x \cdot 2e^{2x} = A(1+2x)e^{2x}.
Derivando novamente:
usar y_p' = A e^{2x} + 2A x e^{2x}. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(A e^{2x}\big)=2A e^{2x},
\frac{d}{dx}\big(2A x e^{2x}\big)=2A e^{2x} + 4A x e^{2x}
(pela regra do produto: derive x e mantenha e^{2x}, e derive e^{2x} multiplicando por 2). Somando,
y_p''=2A e^{2x} + \big(2A e^{2x} +4A x e^{2x}\big)=4A e^{2x}+4A x e^{2x}.

Passo 5

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na expressão da esquerda da EDO e simplificamos:
y_p''-6y_p'+8y_p
=\big(4A e^{2x}+4A x e^{2x}\big)-6\big(A(1+2x)e^{2x}\big)+8\big(A x e^{2x}\big).
Fatorando e^{2x} e agrupando termos:
=e^{2x}\Big(4A+4A x -6A -12A x +8A x\Big).
Agora somamos coeficientes constantes e coeficientes de x separadamente:
coeficiente constante: 4A-6A=-2A.
coeficiente de x: 4A-12A+8A=0.
Portanto a expressão simplifica para
y_p''-6y_p'+8y_p = -2A e^{2x}.
Queremos que isso seja igual ao RHS e^{2x}, então impomos
-2A e^{2x}=e^{2x}.
Cancelando e^{2x} (não é zero), obtemos
-2A=1\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Com A=-\tfrac{1}{2} temos a solução particular
y_p = -\tfrac{1}{2} x e^{2x}.
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h+y_p=C_1 e^{2x}+C_2 e^{4x}-\tfrac{1}{2}x e^{2x}.
Breve comentário pedagógico: é comum, por clareza, escrever
y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{4x}-\frac{x}{2}e^{2x}.
As constantes C_1,C_2 absorvem qualquer combinação linear que seja solução homogênea.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{4x}-\tfrac{1}{2}x e^{2x}.

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