Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{3 x-1}{x^{2}-x} d x
.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3x - 1}{x^{2} - x}\,dx.
Trata‐se de uma função racional cujo denominador fatora como x^{2}-x = x(x-1). Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador e escrevemos
\frac{3x - 1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{\,x-1\,}.
Multiplicando por x(x-1), obtemos
3x - 1 = A(x-1) + Bx = (A + B)x - A.

Passo 3

Comparando coeficientes em 3x - 1 = (A+B)x - A\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -A = -1. \end{cases}
Da segunda equação vem A = 1\]. Substituindo na primeira, \(1 + B = 3 leva a B = 2.

Passo 4

Substituindo A e B na integral, fica
\int \frac{3x - 1}{x(x-1)}\,dx = \int \Bigl(\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + 2\int \frac{1}{x-1}\,dx.
Integrando cada termo,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \qquad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert.
Logo a integral geral é
\ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-1\rvert + C,
sendo C a constante de integração.

Resposta

\int \frac{3x - 1}{x^{2} - x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-1\rvert + C.

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