Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{e^{2 x}-e^{-3 x}}{e^{4 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{2x}-e^{-3x}}{e^{4x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{e^{2x}-e^{-3x}}{e^{4x}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva dessa função (ou seja, calcular a integral indefinida).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da integral usando a regra das potências/exponenciais:
\frac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}.
Aplicando essa regra termo a termo:
\frac{e^{2x}}{e^{4x}}=e^{2x-4x}=e^{-2x}, \qquad \frac{e^{-3x}}{e^{4x}}=e^{-3x-4x}=e^{-7x}.
Portanto a integranda simplifica para
e^{-2x}-e^{-7x}.

Passo 3

Usamos agora a linearidade da integral, que diz que
\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx,
e que constantes podem ser puxadas para fora. Assim:
\int \bigl(e^{-2x}-e^{-7x}\bigr)\,dx = \int e^{-2x}\,dx-\int e^{-7x}\,dx.

Passo 4

Precisamos da fórmula básica de integração de exponenciais. Para a\neq0 vale:
\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C.
Explicação rápida: derivando \dfrac{1}{a}e^{ax} obtém-se \dfrac{1}{a}\cdot a e^{ax}=e^{ax}, então \dfrac{1}{a}e^{ax} é realmente uma primitiva de e^{ax}. Exemplos curtos:
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x},\qquad \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos nossos termos:
\int e^{-2x}\,dx=\frac{1}{-2}e^{-2x}=-\frac{1}{2}e^{-2x},
\int e^{-7x}\,dx=\frac{1}{-7}e^{-7x}=-\frac{1}{7}e^{-7x}.
Como há uma subtração entre os termos, temos
\int \bigl(e^{-2x}-e^{-7x}\bigr)\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}-\biggl(-\frac{1}{7}e^{-7x}\biggr) = -\frac{1}{2}e^{-2x}+\frac{1}{7}e^{-7x}+C.

Passo 6

Checagem rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando
-\tfrac{1}{2}e^{-2x}+\tfrac{1}{7}e^{-7x}
obtemos
-\tfrac{1}{2}\cdot(-2)e^{-2x}+\tfrac{1}{7}\cdot(-7)e^{-7x}=e^{-2x}-e^{-7x},
que é exatamente a integranda simplificada. Logo a primitiva está correta. Vai dar tudo certo — boa energia pra prova!

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{2}e^{-2x}+\frac{1}{7}e^{-7x}+C

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