Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação dada: integrando é a exponencial de uma função linear em
, isto é . - Resultado esperado: uma primitiva (função cuja derivada é o integrando), mais a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia básica (substituição): quando temos uma integral do tipo
, é conveniente fazer a substituição
essa função interna, porque a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Aqui escolhemos
Agora calculemos
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Explicação curta: essa mudança transforma a integral numa forma onde sabemos direto a primitiva de
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral:
Aqui só trocamos a variável
por
e
por
. O fator
sai da integral por ser constante.
Passo 4
Integrar
: conhecemos a primitiva de
, que é ela mesma, porque
Portanto
Logo, voltando ao passo anterior,
Passo 5
Substituir
de volta para a variável
:
Também é possível ver isso factorizando
e integrando
, o que dá o mesmo resultado
.
Passo 6
Verificação rápida (cheque que está tudo certo): deriva-se o resultado para ver se volta ao integrando:
que é exatamente o integrando. Está correto.
Passo 7
Regra geral útil para a prova: para
com
,
Exemplo rápido:
.