Calcule as seguintes integrais:
\int e^{3 x-4} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{3x-4}\,dx.
  • Informação dada: integrando é a exponencial de uma função linear em x, isto é 3x-4.
  • Resultado esperado: uma primitiva (função cuja derivada é o integrando), mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia básica (substituição): quando temos uma integral do tipo \displaystyle \int e^{\text{(função linear em }x)}\,dxçã, é conveniente fazer a substituição u= essa função interna, porque a derivada de e^{u} em relação a u é simplesmente e^{u}. Aqui escolhemos
u = 3x-4.
Agora calculemos du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 3\,dx.
Isolando dx temos
dx = \dfrac{du}{3}.
Explicação curta: essa mudança transforma a integral numa forma onde sabemos direto a primitiva de e^{u}.

Passo 3

Fazer a substituição na integral:
\int e^{3x-4}\,dx = \int e^{u}\cdot \dfrac{du}{3} = \dfrac{1}{3}\int e^{u}\,du.
Aqui só trocamos a variável 3x-4 por u e dx por \dfrac{du}{3}. O fator \dfrac{1}{3} sai da integral por ser constante.

Passo 4

Integrar \int e^{u}\,du: conhecemos a primitiva de e^{u}, que é ela mesma, porque
\frac{d}{du} e^{u} = e^{u}.
Portanto
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo, voltando ao passo anterior,
\dfrac{1}{3}\int e^{u}\,du = \dfrac{1}{3} e^{u} + C.

Passo 5

Substituir u=3x-4 de volta para a variável x:
\dfrac{1}{3} e^{u} + C = \dfrac{1}{3} e^{3x-4} + C.
Também é possível ver isso factorizando e^{3x-4}=e^{-4}e^{3x} e integrando e^{3x}, o que dá o mesmo resultado \dfrac{1}{3}e^{3x-4}+C.

Passo 6

Verificação rápida (cheque que está tudo certo): deriva-se o resultado para ver se volta ao integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{3}e^{3x-4}\right) = \dfrac{1}{3}\cdot 3 e^{3x-4} = e^{3x-4},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Passo 7

Regra geral útil para a prova: para \displaystyle \int e^{ax+b}\,dx com a\neq 0,
\int e^{ax+b}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C.
Exemplo rápido: \displaystyle \int e^{5x+2}\,dx = \dfrac{1}{5}e^{5x+2}+C.

Resposta

\dfrac{1}{3}e^{3x-4}+C

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