Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Observação sobre notação (peguei isso do enunciado): em português costuma-se escrever
para a função cotangente; aqui vou usar
e
como sinônimos de
e
. A integral a resolver é, portanto,
Passo 2
Lembrar uma derivada útil (fórmula e por que é útil):
Explicando:
. Derivando com a regra do quociente (ou lembrando da tabela de derivadas), obtém-se
. Isso é importante porque a presença de
sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo
.
Passo 3
Escolha do método: substituição simples (método da mudança de variável). Justificativa: como
é
, definir a nova variável como a própria
transforma
em
, simplificando bastante a integral. Esse é o método mais direto e elementar aqui.
Passo 4
Fazer a substituição explicitamente. Seja
Então derivando,
Isolando
obtemos
Passo 5
Substituir na integral:
Agora integrar
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original substituindo
:
Podemos verificar rapidamente diferenciando: usando a regra da cadeia,
que é justamente o integrando, portanto o resultado está correto.
Passo 7
Comentário didático curto e encorajador: a técnica usada é a substituição típica quando a integral contém uma função e sua derivada (ou um múltiplo dela). Aqui reconhecer que
é a derivada (com sinal) de
resolve a integral em dois passos. Se ficar inseguro, pratique com exemplos parecidos, por exemplo
— aí usa-se
porque
.