Calcule as seguintes integrais:
\int \cot g(x) \cdot \operatorname{cosec}^{2}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cotg}(x)\cdot \operatorname{cosec}^2(x)\,dx.
Observação sobre notação (peguei isso do enunciado): em português costuma-se escrever \operatorname{cotg}(x) para a função cotangente; aqui vou usar \cot(x) e \csc(x) como sinônimos de \operatorname{cotg}(x) e \operatorname{cosec}(x). A integral a resolver é, portanto,
\int \cot(x)\,\csc^2(x)\,dx.

Passo 2

Lembrar uma derivada útil (fórmula e por que é útil):
\frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr) = -\csc^2(x).
Explicando: \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}. Derivando com a regra do quociente (ou lembrando da tabela de derivadas), obtém-se -\csc^2(x). Isso é importante porque a presença de \csc^2(x)\,dx sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo \cot(x).

Passo 3

Escolha do método: substituição simples (método da mudança de variável). Justificativa: como \dfrac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr) é -\csc^2(x), definir a nova variável como a própria \cot(x) transforma \csc^2(x)\,dx em -du, simplificando bastante a integral. Esse é o método mais direto e elementar aqui.

Passo 4

Fazer a substituição explicitamente. Seja
u=\cot(x).
Então derivando,
du = \frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr)\,dx = -\csc^2(x)\,dx.
Isolando \csc^2(x)\,dx obtemos
\csc^2(x)\,dx = -du.

Passo 5

Substituir na integral:
\int \cot(x)\,\csc^2(x)\,dx = \int u\cdot(-du) = -\int u\,du.
Agora integrar -\int u\,du:
-\int u\,du = -\frac{u^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original substituindo u=\cot(x):
-\frac{u^2}{2}+C = -\frac{1}{2}\cot^2(x)+C.
Podemos verificar rapidamente diferenciando: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}\cot^2(x)\right) = -\frac{1}{2}\cdot 2\cot(x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr) = -\cot(x)\cdot(-\csc^2(x))=\cot(x)\csc^2(x),
que é justamente o integrando, portanto o resultado está correto.

Passo 7

Comentário didático curto e encorajador: a técnica usada é a substituição típica quando a integral contém uma função e sua derivada (ou um múltiplo dela). Aqui reconhecer que \csc^2(x) é a derivada (com sinal) de \cot(x) resolve a integral em dois passos. Se ficar inseguro, pratique com exemplos parecidos, por exemplo \int \sin(x)\cos(x)\,dx — aí usa-se u=\sin(x) porque du=\cos(x)\,dx.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\cot^2(x)+C

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