Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{2 x}{\sqrt[4]{x^{2}-11}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{2x}{\sqrt[4]{x^{2}-11}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{2x}{\sqrt[4]{x^{2}-11}}.
  • A integração é indefinida (ou seja, devemos adicionar a constante de integração C).
  • Observação sobre domínio: a expressão \sqrt[4]{x^{2}-11} exige x^{2}-11\ge 0 para ficar real, isto é, |x|\ge\sqrt{11}. (Essa observação serve para entender onde a integral original está definida como função real.)

Passo 2

Escolha de substituição (motivo didático): quando você vê x^{2}-11 dentro de uma raiz e também aparece 2x\,dx no numerador, isso sugere a substituição
u = x^{2}-11,
porque a diferencial de u traz exatamente o 2x\,dx presente no integrando. Agora calcule du:
du = 2x\,dx.
Portanto 2x\,dx pode ser substituído por du.

Passo 3

Fazer a substituição na integral: como \sqrt[4]{x^{2}-11}=(x^{2}-11)^{1/4}=u^{1/4} e 2x\,dx=du, a integral original fica
\int \frac{2x}{\sqrt[4]{x^{2}-11}}\,dx=\int \frac{1}{u^{1/4}}\,du.
Escrevendo a potência negativa:
\int \frac{1}{u^{1/4}}\,du=\int u^{-1/4}\,du.

Passo 4

Aplicar a regra de potência para integração (aula curta): a regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{4}. Então
n+1=-\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{4}.
Aplicando a fórmula:
\int u^{-1/4}\,du=\frac{u^{3/4}}{3/4}+C.
Calcule o fator \dfrac{1}{3/4}=\dfrac{4}{3}, obtendo
\int u^{-1/4}\,du=\frac{4}{3}\,u^{3/4}+C.

Passo 5

Voltar à variável original: lembrando que u=x^{2}-11, substitui-se de volta:
\frac{4}{3}\,u^{3/4}+C=\frac{4}{3}\,(x^{2}-11)^{3/4}+C.
Esse é o antiderivado na variável x.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checagem): calcule a derivada de \dfrac{4}{3}(x^{2}-11)^{3/4} para garantir que recuperamos o integrando.
  • Pela regra da cadeia, a derivada é
\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}(x^{2}-11)^{3/4}\right)=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}(x^{2}-11)^{-1/4}\cdot 2x.
  • Simplificando os coeficientes \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=1, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}(x^{2}-11)^{3/4}\right)=2x\,(x^{2}-11)^{-1/4}=\frac{2x}{\sqrt[4]{x^{2}-11}},
que é exatamente o integrando. Logo a antiderivada está correta.

Passo 7

Comentário final e recado amigo: a técnica usada foi a substituição u=x^{2}-11, que é uma das substituições-padrão quando aparece uma função composta f(x^{2}-a) e a derivada de x^{2} (ou seja, 2x) está presente. Dá pra fazer esse tipo de integral rapidinho na prova: veja se há uma peça cujo diferencial aparece multiplicando — se sim, substitui e integra por potência.

Resposta

\dfrac{4}{3}(x^{2}-11)^{3/4}+C

Exercícios relacionados