Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas:
- O integrando é
. - A integração é indefinida (ou seja, devemos adicionar a constante de integração
). - Observação sobre domínio: a expressão
exige para ficar real, isto é, . (Essa observação serve para entender onde a integral original está definida como função real.)
Passo 2
Escolha de substituição (motivo didático): quando você vê
dentro de uma raiz e também aparece
no numerador, isso sugere a substituição
porque a diferencial de
traz exatamente o
presente no integrando. Agora calcule
:
Portanto
pode ser substituído por
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral: como
e
, a integral original fica
Escrevendo a potência negativa:
Passo 4
Aplicar a regra de potência para integração (aula curta): a regra diz que, para
,
Aqui
. Então
Aplicando a fórmula:
Calcule o fator
, obtendo
Passo 5
Voltar à variável original: lembrando que
, substitui-se de volta:
Esse é o antiderivado na variável
.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checagem): calcule a derivada de
para garantir que recuperamos o integrando.
- Pela regra da cadeia, a derivada é
- Simplificando os coeficientes
, obtemos
que é exatamente o integrando. Logo a antiderivada está correta.
Passo 7
Comentário final e recado amigo: a técnica usada foi a substituição
, que é uma das substituições-padrão quando aparece uma função composta
e a derivada de
(ou seja,
) está presente. Dá pra fazer esse tipo de integral rapidinho na prova: veja se há uma peça cujo diferencial aparece multiplicando — se sim, substitui e integra por potência.