Calcule as seguintes integrais:
\int x^{2} \cdot e^{1-x^{3}} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos: calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Em outras palavras, encontrar uma função F(x) tal que \dfrac{d}{dx}F(x)=x^{2}e^{1-x^{3}}. A integral a resolver é
\int x^{2} e^{1 - x^{3}}\,dx.
Informações relevantes: o integrando é um produto de x^{2} por uma exponencial cujo expoente é uma função polinomial de x (especificamente 1-x^{3}).

Passo 2

Observar a estrutura e escolher uma estratégia: costuma dar certo procurar no integrando algo que seja a derivada do expoente quando aparece uma exponencial e^{(\text{algo})}. Aqui o expoente é 1-x^{3}. Vamos verificar a derivada desse expoente:
\frac{d}{dx}\big(1-x^{3}\big)= -3x^{2}.
Percebe-se que aparece x^{2} no integrando; isso indica que uma substituição do tipo u=1-x^{3} será conveniente, porque a diferencial du ficará proporcional a x^{2}\,dx. Essa é a ideia da substituição (mudança de variável) — transformar a integral em outra com variável mais simples.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente. Defina
u = 1 - x^{3}.
Calcule du:
du = \frac{d}{dx}(1-x^{3})\,dx = -3x^{2}\,dx.
Desse modo temos
x^{2}\,dx = -\frac{1}{3}\,du.
Agora substituímos na integral original: a parte e^{1-x^{3}} vira e^{u} e x^{2}\,dx vira -\dfrac{1}{3}du.

Passo 4

Reescrever e integrar na variável u. Substituindo obtemos
\int x^{2} e^{1 - x^{3}}\,dx = \int e^{u}\left(-\frac{1}{3}\,du\right) = -\frac{1}{3}\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é simples: \int e^{u}\,du = e^{u} + C. Logo
-\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = -\frac{1}{3} e^{u} + C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=1-x^{3}. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{1}{3} e^{1 - x^{3}} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (confirmação útil na prova): diferencie a expressão obtida e veja se volta ao integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{3} e^{1-x^{3}}\right) = -\frac{1}{3} e^{1-x^{3}}\cdot\frac{d}{dx}(1-x^{3}) = -\frac{1}{3} e^{1-x^{3}}\cdot(-3x^{2}) = x^{2} e^{1-x^{3}},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Passo 7

Dica prática para provas (ânimo!): sempre que vir uma integral do tipo \int f'(x)\,e^{f(x)}\,dx a primitiva é e^{f(x)}+C. No nosso caso havia um fator constante a ajustar (o -\tfrac{1}{3}). Exemplos rápidos:
  • \displaystyle \int x e^{x^{2}}\,dx. Aqui f(x)=x^{2}, f'(x)=2x. Então \int x e^{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C.
  • \displaystyle \int \sin x\; e^{\cos x}\,dx. Aqui f(x)=\cos x, f'(x)=-\sin x. Então \int \sin x\; e^{\cos x}\,dx = -e^{\cos x}+C.

Resposta

-\dfrac{1}{3}e^{1 - x^{3}} + C

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