Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o problema pede e o que já temos: calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Em outras palavras, encontrar uma função
tal que
. A integral a resolver é
Informações relevantes: o integrando é um produto de
por uma exponencial cujo expoente é uma função polinomial de
(especificamente
).
Passo 2
Observar a estrutura e escolher uma estratégia: costuma dar certo procurar no integrando algo que seja a derivada do expoente quando aparece uma exponencial
. Aqui o expoente é
. Vamos verificar a derivada desse expoente:
Percebe-se que aparece
no integrando; isso indica que uma substituição do tipo
será conveniente, porque a diferencial
ficará proporcional a
. Essa é a ideia da substituição (mudança de variável) — transformar a integral em outra com variável mais simples.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente. Defina
Calcule
:
Desse modo temos
Agora substituímos na integral original: a parte
vira
e
vira
.
Passo 4
Reescrever e integrar na variável
. Substituindo obtemos
A integral de
é simples:
. Logo
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (confirmação útil na prova): diferencie a expressão obtida e veja se volta ao integrando.
que é exatamente o integrando. Está correto.
Passo 7
Dica prática para provas (ânimo!): sempre que vir uma integral do tipo
a primitiva é
. No nosso caso havia um fator constante a ajustar (o
). Exemplos rápidos:
-
. Aqui , . Então . -
. Aqui , . Então .