Calcule as seguintes integrais:
(a)
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau) x(t-\tau) \mathrm{d} \tau
(b)
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau
(c)
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j \omega t} \mathrm{~d} t
(d)
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t+3) e^{-t} \mathrm{~d} t
(e)
\int_{-\infty}^{\infty}\left(t^{3}+4\right) \delta(1-t) \mathrm{d} t
(f)
\int_{-\infty}^{\infty} x(2-t) \delta(3-t) \mathrm{d} t
(g)
\int_{-\infty}^{\infty} e^{(x-1)} \cos \left[\frac{\pi}{2}(x-5)\right] \delta(x-3) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular sete integrais envolvendo a função delta de Dirac. Vou escrever claramente cada integral (onde a variável de integração está explícita) e o que é parâmetro em cada caso:
  • (a) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau)\, x(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau, integração em \tau, parâmetro \,t.
  • (b) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\, \delta(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau, integração em \tau, parâmetro \,t.
  • (c) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t, integração em t, parâmetro \,\omega.
  • (d) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t+3)\, e^{-t}\,\mathrm{d}t, integração em t.
  • (e) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(t^{3}+4\bigr)\, \delta(1-t)\,\mathrm{d}t, integração em t.
  • (f) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x(2-t)\, \delta(3-t)\,\mathrm{d}t, integração em t.
  • (g) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{(x-1)} \cos\!\biggl[\frac{\pi}{2}(x-5)\biggr] \delta(x-3)\,\mathrm{d}x, integração em x.

Passo 2

Antes de resolver cada integral, vamos revisar a propriedade essencial da delta de Dirac que vamos usar — a chamada propriedade de “seleção” ou “sifting”:
  • Fórmula (sifting): \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-a)\,\mathrm{d}t = f(a).
    • Aqui f(t) é qualquer função suficientemente bem-comportada e a é um número fixo; a integral sobre toda a reta “pega” o valor de f no ponto t=a.
  • Observações úteis:
    • A função delta é par: \displaystyle \delta(-u)=\delta(u). Assim \delta(1-t)=\delta(t-1).
    • A delta é simétrica na diferença: \delta(t-a)=\delta(a-t).
    • Se a variável de integração for diferente (por ex. \tau ou x), a propriedade vale do mesmo jeito: \displaystyle \int f(\tau)\,\delta(\tau-a)\,\mathrm{d}\tau=f(a).
    • Se houver um fator escala na variável dentro da delta (por ex. \delta(\alpha t)), aparece um fator 1/|\alpha|. (Isso não é necessário neste exercício, mas é bom lembrar.)
Com isso em mente, vamos aplicar diretamente a propriedade para cada item. Em todos os itens a integração é sobre a reta inteira, então podemos aplicar a fórmula sem preocupar com limites.

Passo 3

Resolver (a).
Aplicação da propriedade com variável de integração \tau:
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau)\, x(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau
A delta \delta(\tau) “seleciona” o ponto \tau=0. Logo, substituímos \tau=0 na função multiplicativa x(t-\tau):
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau)\, x(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau = x\bigl(t-0\bigr)=x(t).
Importante: \,t é parâmetro aqui (constante durante a integração), por isso o resultado é função de t.

Passo 4

Resolver (b).
Temos
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\, \delta(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau.
Usamos \delta(t-\tau)=\delta(\tau-t) (simetria) e a propriedade de seleção com a=t:
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\, \delta(\tau-t)\,\mathrm{d}\tau = x(t).
Novamente t é parâmetro — o valor de x(\tau) é tomado no ponto \tau=t.

Passo 5

Resolver (c).
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t.
A delta \delta(t) seleciona t=0. Substituindo:
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t = e^{-j\omega\cdot 0} = e^{0} = 1.
Também pode-se ver que e^{-j\omega t} avaliada em t=0 é 1, independente de \omega.

Passo 6

Resolver (d).
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t+3)\, e^{-t}\,\mathrm{d}t.
Escrevemos \delta(t+3)=\delta\bigl(t-(-3)\bigr). A delta seleciona t=-3. Assim
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t+3)\, e^{-t}\,\mathrm{d}t = e^{-(-3)} = e^{3}.

Passo 7

Resolver (e).
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(t^{3}+4\bigr)\, \delta(1-t)\,\mathrm{d}t.
Usamos \delta(1-t)=\delta(t-1). A delta seleciona t=1. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(t^{3}+4\bigr)\, \delta(1-t)\,\mathrm{d}t = 1^{3}+4 = 5.

Passo 8

Resolver (f).
\int_{-\infty}^{\infty} x(2-t)\, \delta(3-t)\,\mathrm{d}t.
Escrevemos \delta(3-t)=\delta(t-3). A delta seleciona t=3. Substituindo em x(2-t):
\int_{-\infty}^{\infty} x(2-t)\, \delta(3-t)\,\mathrm{d}t = x\bigl(2-3\bigr)=x(-1).

Passo 9

Resolver (g).
\int_{-\infty}^{\infty} e^{(x-1)} \cos\!\biggl[\frac{\pi}{2}(x-5)\biggr] \delta(x-3)\,\mathrm{d}x.
A delta \delta(x-3) seleciona x=3. Avaliamos a expressão em x=3.
Primeiro o exponencial:
e^{(3-1)} = e^{2}.
Agora o cosseno:
\cos\!\biggl[\frac{\pi}{2}(3-5)\biggr] = \cos\!\biggl[\frac{\pi}{2}\cdot(-2)\biggr] = \cos(-\pi).
Como o cosseno é função par, \cos(-\pi)=\cos(\pi)=-1.
Multiplicando:
e^{2}\cdot(-1) = -e^{2}.
Logo a integral vale -e^{2}.

Resposta

(a) x(t)
(b) x(t)
(c) 1
(d) e^{3}
(e) 5
(f) x(-1)
(g) -e^{2}

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