Calcule as seguintes integrais:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular sete integrais envolvendo a função delta de Dirac. Vou escrever claramente cada integral (onde a variável de integração está explícita) e o que é parâmetro em cada caso:
- (a)
, integração em , parâmetro . - (b)
, integração em , parâmetro . - (c)
, integração em , parâmetro . - (d)
, integração em . - (e)
, integração em . - (f)
, integração em . - (g)
, integração em .
Passo 2
Antes de resolver cada integral, vamos revisar a propriedade essencial da delta de Dirac que vamos usar — a chamada propriedade de “seleção” ou “sifting”:
- Fórmula (sifting):
. - Aqui
é qualquer função suficientemente bem-comportada e é um número fixo; a integral sobre toda a reta “pega” o valor de no ponto .
- Aqui
- Observações úteis:
- A função delta é par:
. Assim . - A delta é simétrica na diferença:
. - Se a variável de integração for diferente (por ex.
ou ), a propriedade vale do mesmo jeito: . - Se houver um fator escala na variável dentro da delta (por ex.
), aparece um fator . (Isso não é necessário neste exercício, mas é bom lembrar.)
- A função delta é par:
Com isso em mente, vamos aplicar diretamente a propriedade para cada item. Em todos os itens a integração é sobre a reta inteira, então podemos aplicar a fórmula sem preocupar com limites.
Passo 3
Resolver (a).
Aplicação da propriedade com variável de integração
:
A delta
“seleciona” o ponto
. Logo, substituímos
na função multiplicativa
:
Importante:
é parâmetro aqui (constante durante a integração), por isso o resultado é função de
.
Passo 4
Resolver (b).
Temos
Usamos
(simetria) e a propriedade de seleção com
:
Novamente
é parâmetro — o valor de
é tomado no ponto
.
Passo 5
Resolver (c).
A delta
seleciona
. Substituindo:
Também pode-se ver que
avaliada em
é
, independente de
.
Passo 6
Resolver (d).
Escrevemos
. A delta seleciona
. Assim
Passo 7
Resolver (e).
Usamos
. A delta seleciona
. Portanto
Passo 8
Resolver (f).
Escrevemos
. A delta seleciona
. Substituindo em
:
Passo 9
Resolver (g).
A delta
seleciona
. Avaliamos a expressão em
.
Primeiro o exponencial:
Agora o cosseno:
Como o cosseno é função par,
.
Multiplicando:
Logo a integral vale
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)