Qual ou quais sistemas abaixo são lineares e invariantes a deslocamentos?
g(x, y)=f(x, y) f\left(x-x_{0}, y\right)

Passo 1

O enunciado fornece um sistema que, dado um sinal/funcão de entrada f(x,y), produz a saída
g(x,y)=f(x,y)\,f\bigl(x-x_{0},y\bigr),
onde x_{0} é uma constante (deslocamento fixo em x). As perguntas são:
  • O sistema é linear?
  • O sistema é invariante a deslocamentos (isto é, shift-invariant)?

Passo 2

Definição de linearidade (regra que vamos testar). Um sistema T é linear se, para quaisquer sinais f_{1},f_{2} e quaisquer escalares a,b, vale
T\{a f_{1} + b f_{2}\}=a\,T\{f_{1}\}+b\,T\{f_{2}\}.
Isto contém duas propriedades: homogeneidade ( T\{a f\}=aT\{f\}) e aditividade ( T\{f_{1}+f_{2}\}=T\{f_{1}\}+T\{f_{2}\}). Vamos aplicar essa definição ao sistema dado.

Passo 3

Calcular a saída para a soma f_{1}+f_{2}. Seja T o operador definido por T\{f\}(x,y)=f(x,y)f(x-x_{0},y). Então
T\{f_{1}+f_{2}\}(x,y)=(f_{1}+f_{2})(x,y)\,(f_{1}+f_{2})(x-x_{0},y).
Expandindo o produto ponto a ponto:
\begin{aligned} T\{f_{1}+f_{2}\}(x,y) &=f_{1}(x,y)f_{1}(x-x_{0},y)+f_{1}(x,y)f_{2}(x-x_{0},y)\\\ &\quad +f_{2}(x,y)f_{1}(x-x_{0},y)+f_{2}(x,y)f_{2}(x-x_{0},y). \end{aligned}
Enquanto isso,
T\{f_{1}\}(x,y)+T\{f_{2}\}(x,y)=f_{1}(x,y)f_{1}(x-x_{0},y)+f_{2}(x,y)f_{2}(x-x_{0},y).
Comparando, aparecem termos cruzados f_{1}(x,y)f_{2}(x-x_{0},y) e f_{2}(x,y)f_{1}(x-x_{0},y) em T\{f_{1}+f_{2}\} que não estão em T\{f_{1}\}+T\{f_{2}\}. Portanto, em geral
T\{f_{1}+f_{2}\}\neq T\{f_{1}\}+T\{f_{2}\},
logo o sistema não é aditivo e, portanto, não é linear.

Passo 4

Contraexemplo numérico simples (para fixar a intuição). Tome f_{1}(x,y)=1 e f_{2}(x,y)=1 (funções constantes). Então
T\{f_{1}\}=1\cdot 1=1,\qquad T\{f_{2}\}=1,
logo T\{f_{1}\}+T\{f_{2}\}=2. Mas
T\{f_{1}+f_{2}\}=T\{2\}=2\cdot 2=4\neq 2.
Esse cálculo simples confirma que o sistema não satisfaz superposição — é não linear. Psicologicamente: multiplicar sinais é uma operação não linear (gera termos mistos).

Passo 5

Definição de invariância a deslocamentos (shift-invariance). O sistema T é invariante a deslocamentos se, para qualquer deslocamento (x_{1},y_{1}),
T\{f(\cdot - (x_{1},y_{1}))\}(x,y)=\bigl[T\{f\}\bigr](x - x_{1},\,y - y_{1}).
Aqui usamos a notação f(\cdot-(x_{1},y_{1})) para significar f(x-x_{1},y-y_{1}).

Passo 6

Testando a invariância. Seja f_{s}(x,y)=f(x-x_{1},y-y_{1}) o sinal deslocado. Então
\begin{aligned} T\{f_{s}\}(x,y) &=f_{s}(x,y)\,f_{s}(x-x_{0},y)\\\ &=f(x-x_{1},y-y_{1})\;f\bigl(x-x_{0}-x_{1},\,y-y_{1}\bigr). \end{aligned}
Por outro lado, a saída T\{f\} deslocada é
\bigl[T\{f\}\bigr](x-x_{1},y-y_{1}) = f(x-x_{1},y-y_{1})\; f\bigl(x-x_{0}-x_{1},y-y_{1}\bigr).
As duas expressões são idênticas para quaisquer f e quaisquer deslocamentos (x_{1},y_{1}). Portanto
T\{f(\cdot-(x_{1},y_{1}))\}= \bigl[T\{f\}\bigr](\cdot-(x_{1},y_{1})),
ou seja, o sistema é invariante a deslocamentos.

Passo 7

Intuição final e observações úteis. O motivo prático é que o sistema combina o sinal com uma cópia deslocada dele mesmo usando multiplicação ponto a ponto; se deslocar toda a entrada, ambas as cópias deslocam da mesma forma, portanto a saída desloca do mesmo jeito — isso garante invariância a deslocamentos. Mas como há multiplicação entre termos dependentes de f, a superposição falha e assim o sistema é não linear. Há casos “degenerados” (por exemplo se f\equiv0 ou se sempre f assume valores que aniquilam cruzamentos) em que a linearidade pode parecer satisfeita para entradas específicas, mas isso não altera o fato geral: o operador não é linear.

Resposta

O sistema não é linear.
O sistema é invariante a deslocamentos.

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