Qual ou quais sistemas abaixo são lineares e invariantes a deslocamentos?
Passo 1
O enunciado fornece um sistema que, dado um sinal/funcão de entrada
, produz a saída
onde
é uma constante (deslocamento fixo em
). As perguntas são:
- O sistema é linear?
- O sistema é invariante a deslocamentos (isto é, shift-invariant)?
Passo 2
Definição de linearidade (regra que vamos testar). Um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
, vale
Isto contém duas propriedades: homogeneidade (
) e aditividade (
). Vamos aplicar essa definição ao sistema dado.
Passo 3
Calcular a saída para a soma
. Seja
o operador definido por
. Então
Expandindo o produto ponto a ponto:
Enquanto isso,
Comparando, aparecem termos cruzados
e
em
que não estão em
. Portanto, em geral
logo o sistema não é aditivo e, portanto, não é linear.
Passo 4
Contraexemplo numérico simples (para fixar a intuição). Tome
e
(funções constantes). Então
logo
Mas
Esse cálculo simples confirma que o sistema não satisfaz superposição — é não linear. Psicologicamente: multiplicar sinais é uma operação não linear (gera termos mistos).
Passo 5
Definição de invariância a deslocamentos (shift-invariance). O sistema
é invariante a deslocamentos se, para qualquer deslocamento
,
Aqui usamos a notação
para significar
.
Passo 6
Testando a invariância. Seja
o sinal deslocado. Então
Por outro lado, a saída
deslocada é
As duas expressões são idênticas para quaisquer
e quaisquer deslocamentos
. Portanto
ou seja, o sistema é invariante a deslocamentos.
Passo 7
Intuição final e observações úteis. O motivo prático é que o sistema combina o sinal com uma cópia deslocada dele mesmo usando multiplicação ponto a ponto; se deslocar toda a entrada, ambas as cópias deslocam da mesma forma, portanto a saída desloca do mesmo jeito — isso garante invariância a deslocamentos. Mas como há multiplicação entre termos dependentes de
, a superposição falha e assim o sistema é não linear. Há casos “degenerados” (por exemplo se
ou se sempre
assume valores que aniquilam cruzamentos) em que a linearidade pode parecer satisfeita para entradas específicas, mas isso não altera o fato geral: o operador não é linear.
Resposta
O sistema não é linear.
O sistema é invariante a deslocamentos.
O sistema é invariante a deslocamentos.