Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
Passo 1
O enunciado dá uma equação que relaciona entrada e saída do sistema:
O que se pede: determinar se o sistema descrito por essa relação é linear ou não linear.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A variável de entrada é
e a de saída é . - A equação envolve o quadrado da derivada de
, isto é . - Não há outras condições iniciais dadas nem coeficientes dependentes de
além do termo escrito.
Passo 2
O que significa ser um sistema linear (lembrando de forma prática e direta)?
Um sistema é linear se o operador que relaciona entrada e saída satisfaz a propriedade de superposição: para quaisquer sinais de entrada e
com respectivas respostas
e
, e quaisquer escalares
, a resposta ao sinal combinado
deve ser exatamente
. Em símbolos:
Um sistema é linear se o operador que relaciona entrada e saída satisfaz a propriedade de superposição: para quaisquer sinais de entrada
Vou usar essa definição direta para testar a equação dada.
Passo 3
Suponha que
e
sejam soluções correspondentes às entradas
e
, isto é:
Considere a combinação linear de saídas
e calcule o lado esquerdo da equação para essa
.
Passo 4
Calcular a derivada e seu quadrado para
:
Agora o quadrado dessa derivada:
Somando o termo
obtemos o lado esquerdo total:
Passo 5
Compare com
. Usando as igualdades iniciais para
e
:
Observe a diferença entre os dois resultados: no caso de
aparece os termos com
e
e o termo misto
, enquanto em
aparecem coeficientes
e
multiplicando os quadrados das derivadas, sem termo misto. Em geral essas expressões NÃO são iguais para escalares arbitrários
e funções
. Portanto a propriedade de superposição falha.
Passo 6
Para tornar isso bem claro com um exemplo numérico simples: escolha
Então
Somando as entradas obtém-se
. Agora a soma das saídas é
, cuja derivada é
e o quadrado é
. Então
que difere de
. A diferença (aqui um termo
) mostra explicitamente que a resposta à soma das entradas NÃO é a soma das respostas individuais — violação da superposição.
Passo 7
Conclusão (intuição final e regra prática): o aparecimento de
torna o relacionamento não linear em
. Em termos de operadores, o mapeamento
não é um operador linear, pois não satisfaz homogeneidade nem aditividade.
Resposta
Não linear.