Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada \mathrm{x}(\mathrm{t}) e saída \mathrm{y}(\mathrm{t}), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right)^{2}+2 y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado dá uma equação que relaciona entrada e saída do sistema:
\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+2\,y(t)=x(t).
O que se pede: determinar se o sistema descrito por essa relação é linear ou não linear.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de entrada é \,x(t)\, e a de saída é \,y(t)\,.
  • A equação envolve o quadrado da derivada de y, isto é \left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2.
  • Não há outras condições iniciais dadas nem coeficientes dependentes de y além do termo escrito.

Passo 2

O que significa ser um sistema linear (lembrando de forma prática e direta)?
Um sistema é linear se o operador que relaciona entrada e saída satisfaz a propriedade de superposição: para quaisquer sinais de entrada \,x_1(t) e \,x_2(t) com respectivas respostas \,y_1(t) e \,y_2(t), e quaisquer escalares \,a,b, a resposta ao sinal combinado \,a\,x_1(t)+b\,x_2(t) deve ser exatamente a\,y_1(t)+b\,y_2(t). Em símbolos:
\text{se }L[y_1]=x_1\text{ e }L[y_2]=x_2,\quad\text{então deve valer}\quad L[a y_1 + b y_2]=a x_1 + b x_2.ã
Vou usar essa definição direta para testar a equação dada.

Passo 3

Suponha que \,y_1(t)\, e \,y_2(t)\, sejam soluções correspondentes às entradas \,x_1(t)\, e \,x_2(t)\,, isto é:
\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2\,y_1(t) = x_1(t), \qquad \left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2\,y_2(t) = x_2(t).
Considere a combinação linear de saídas \,y(t)=a\,y_1(t)+b\,y_2(t) e calcule o lado esquerdo da equação para essa y(t).

Passo 4

Calcular a derivada e seu quadrado para y(t)=a y_1 + b y_2:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}+b\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}.
Agora o quadrado dessa derivada:
\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \left(a\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}+b\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2 = a^2\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + b^2\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2ab\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right).
Somando o termo 2y(t) obtemos o lado esquerdo total:
\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2y = a^2\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + b^2\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2ab\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right) + 2a y_1 + 2b y_2.

Passo 5

Compare com a x_1 + b x_2. Usando as igualdades iniciais para x_1 e x_2:
a x_1 + b x_2 = a\left[\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2y_1\right] + b\left[\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2y_2\right] = a\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)^2 + b\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2a y_1 + 2b y_2.
Observe a diferença entre os dois resultados: no caso de L[a y_1 + b y_2] aparece os termos com a^2 e b^2 e o termo misto 2ab\left(\dfrac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)\left(\dfrac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right), enquanto em a x_1 + b x_2 aparecem coeficientes a e b multiplicando os quadrados das derivadas, sem termo misto. Em geral essas expressões NÃO são iguais para escalares arbitrários a,b e funções y_1,y_2. Portanto a propriedade de superposição falha.

Passo 6

Para tornar isso bem claro com um exemplo numérico simples: escolha
y_1(t)=t,\qquad y_2(t)=t^2.
Então
\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}=1,\quad \left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}\right)^2=1,\quad x_1(t)=1+2t,
\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}=2t,\quad \left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}\right)^2=4t^2,\quad x_2(t)=4t^2+2t^2=6t^2.
Somando as entradas obtém-se x_1+x_2 = 1 + 2t + 6t^2. Agora a soma das saídas é y=y_1+y_2=t+t^2, cuja derivada é 1+2t e o quadrado é 1+4t+4t^2. Então
\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 + 2y = (1+4t+4t^2) + 2(t+t^2) = 1 + 6t + 6t^2,
que difere de x_1+x_2 = 1 + 2t + 6t^2. A diferença (aqui um termo 4t) mostra explicitamente que a resposta à soma das entradas NÃO é a soma das respostas individuais — violação da superposição.

Passo 7

Conclusão (intuição final e regra prática): o aparecimento de \left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 torna o relacionamento não linear em y. Em termos de operadores, o mapeamento y\mapsto \left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2+2y não é um operador linear, pois não satisfaz homogeneidade nem aditividade.

Resposta

Não linear.

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