Calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2}(u(t+2)-u(t-3))+\frac{1}{t}(\delta(t-1)-4 \delta(t-2)) d t.

Passo 1

O enunciado pede
\int_{-\infty}^{+\infty}\Bigl[t^{2}\bigl(u(t+2)-u(t-3)\bigr)+\frac{1}{t}\bigl(\delta(t-1)-4\,\delta(t-2)\bigr)\Bigr]\,dt.
Para resolver, vamos separar em duas integrais:
  1. A parte com função degrau u.
  2. A parte com distribuições delta \delta.

Passo 2

Analisando u(t+2)-u(t-3):
  • u(t+2)=1 se e somente se t\ge -2.
  • u(t-3)=1 se e somente se t\ge 3.
    Logo u(t+2)-u(t-3) vale 1 em -2\le t<3 e 0 fora desse intervalo. Assim
\int_{-\infty}^{+\infty}t^{2}\bigl(u(t+2)-u(t-3)\bigr)\,dt =\int_{-2}^{3}t^{2}\,dt =\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-2}^{3} =\frac{27-(-8)}{3} =\frac{35}{3}.

Passo 3

Agora a parte com deltas usa a propriedade de amostragem:
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a).
Tomando f(t)=1/t, temos
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t}\bigl(\delta(t-1)-4\,\delta(t-2)\bigr)\,dt =\frac{1}{1}-4\cdot\frac{1}{2} =1-2 =-1.

Passo 4

Somando as duas parcelas:
\frac{35}{3}+(-1) =\frac{35}{3}-\frac{3}{3} =\frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

Exercícios relacionados