Calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{2 t}+e^{-4 t}\right) \delta(t-\beta-1) d t, sendo \beta um escalar constante qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}(e^{2t}+e^{-4t})\,\delta(t-\beta-1)\,dt
utilizando propriedades da distribuição delta de Dirac.

Passo 2

Lembramos a propriedade de amostragem da delta de Dirac:
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,\delta(t-a)\,dt = f(a).

Passo 3

Aqui f(t)=e^{2t}+e^{-4t} e a=\beta+1. Logo, aplicando a propriedade,
\int_{-\infty}^{\infty}(e^{2t}+e^{-4t})\,\delta(t-\beta-1)\,dt = e^{2(\beta+1)} \;+\; e^{-4(\beta+1)}.

Passo 4

Bastam algumas rearrumações nos expoentes:
e^{2(\beta+1)} = e^{2\beta+2}, \quad e^{-4(\beta+1)} = e^{-4\beta-4}.

Resposta

e^{2\beta+2} + e^{-4\beta-4}

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