Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}}\,dx.
Informações dadas: o integrando é x e^{-x^{2}} e os limites são de 0 até +\infty. Temos uma integral com limite infinito (imprópria) e uma função exponencial onde aparece x^{2} no expoente — isso sugere que uma mudança de variável que elimine o x^{2} pode simplificar bastante.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): usar substituição (mudança de variável). A substituição é uma técnica que troca a variável de integração por outra de modo que a integral fique mais simples. Aqui, se fizermos \displaystyle u=x^{2}, o diferencial du se relaciona com dx por du=2x\,dx. Isso é ótimo porque no integrando já temos um fator x\,dx. Vou explicar passo a passo como aplicar isso, incluindo como transformar os limites da integral imprópria.

Passo 3

Faço a substituição \displaystyle u=x^{2}. Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du.
Troco também os limites:
\text{quando } x=0 \Rightarrow u=0^{2}=0, \qquad \text{quando } x\to+\infty \Rightarrow u\to+\infty.
Substituindo na integral original obtemos
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}}\,dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-u}\left(\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du.

Passo 4

Agora avalio a integral mais simples \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du. A primitiva de e^{-u} é -e^{-u}. Então
\int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du = \lim_{b\to+\infty}\left[-e^{-u}\right]_{0}^{b} = \lim_{b\to+\infty}\big(-e^{-b}+e^{0}\big).
Como \displaystyle \lim_{b\to+\infty} e^{-b}=0, o limite fica -0+1=1. Logo
\int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du = 1.

Passo 5

Voltando ao que tínhamos em \displaystyle \tfrac{1}{2}\int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du, substituindo o resultado obtemos
\tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2}.
Portanto a integral original converge e vale \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Observação útil para provas (pequena generalização): se em vez de e^{-x^{2}} tivéssemos e^{-a x^{2}} com a>0, a mesma substituição \displaystyle u=a x^{2}
\int_{0}^{\infty} x e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{1}{2a}.
Isso é prático para reconhecer padrões e resolver variações do mesmo tipo rapidamente na prova. Força aí — você já tirou o medo dessa técnica!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

Exercícios relacionados