Calcule as seguintes integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas: o integrando é
e os limites são de
até
. Temos uma integral com limite infinito (imprópria) e uma função exponencial onde aparece
no expoente — isso sugere que uma mudança de variável que elimine o
pode simplificar bastante.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): usar substituição (mudança de variável). A substituição é uma técnica que troca a variável de integração por outra de modo que a integral fique mais simples. Aqui, se fizermos
, o diferencial
se relaciona com
por
. Isso é ótimo porque no integrando já temos um fator
. Vou explicar passo a passo como aplicar isso, incluindo como transformar os limites da integral imprópria.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
Troco também os limites:
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Agora avalio a integral mais simples
. A primitiva de
é
. Então
Como
, o limite fica
. Logo
Passo 5
Voltando ao que tínhamos em
, substituindo o resultado obtemos
Portanto a integral original converge e vale
.
Passo 6
Observação útil para provas (pequena generalização): se em vez de
tivéssemos
com
, a mesma substituição
dá
Isso é prático para reconhecer padrões e resolver variações do mesmo tipo rapidamente na prova. Força aí — você já tirou o medo dessa técnica!