Uma indústria necessita projetar um sedimentador para espessar uma suspensão que possui vazão de 120 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} desde uma concentração de 1,5 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} até 17,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} de sólidos suspensos. Foram realizados ensaios de sedimentação em um tubo transparente utilizando-se várias concentrações da suspensão, de maneira a se obter as velocidades iniciais de sedimentação em função da concentração. A tabela abaixo fornece os resultados obtidos nos ensaios.
Concentração \left(\mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}\right) 2,0 3 5,5 10 15
Velocidade (\mathrm{m} / \mathrm{h}) 5,0 2,5 1,0 0,4 0,2
a) Determinar o diâmetro do sedimentador.
b) Calcular, através do balanço de massa, a vazão de lama que será espessada e a vazão do clarificado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o diâmetro do sedimentador (assumindo que é circular).
  2. (b) Pelo balanço de massa, calcular a vazão de lama espessada (underflow) e a vazão do clarificado (overflow).
Dados fornecidos:
  • Vazão de alimentação: Q_f = 120\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Concentração de sólidos na alimentação: C_f = 1{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Concentração de sólidos no produto espessado (lama): C_u = 17{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Resultados dos ensaios (tabela dada no enunciado — estou usando esses valores diretamente):
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Concentração }(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) & 2{,}0 & 3{,}0 & 5{,}5 & 10{,}0 & 15{,}0\\\ \hline \text{Velocidade }(\mathrm{m}/\mathrm{h}) & 5{,}0 & 2{,}5 & 1{,}0 & 0{,}4 & 0{,}2\\\ \hline \end{array}
Observação: esta tabela fornece as velocidades iniciais de sedimentação em função da concentração — vou usar esses valores explicitamente ao projetar o sedimentador.

Passo 2

Escolha do método e hipótese necessária (explicação didática):
  • Para projetar a área superficial de um sedimentador/espessador usamos o conceito de taxa superficial de escoamento (também chamada de surface overflow rate, v_s). A ideia física: se a velocidade superficial (vazão por área) for menor ou igual à velocidade de sedimentação das partículas, as partículas conseguem sedimentar antes de serem carregadas pelo fluxo para o transbordo. Portanto a condição de projeto é
\text{taxa superficial} = \frac{Q_f}{A} \le v_s(\text{concentração na alimentação}).çãçã
  • Daí a fórmula simples para a área mínima:
A = \frac{Q_f}{v_s}.
Nesta fórmula:
  • A é a área superficial do sedimentador ( \mathrm{m}^2);
  • Q_f é a vazão volumétrica de alimentação ( \mathrm{m}^3/\mathrm{h});
  • v_s é a velocidade de sedimentação correspondente à concentração da suspensão na alimentação ( \mathrm{m}/\mathrm{h}).
Escolha do valor de v_s: o enunciado dá C_f = 1{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, mas os ensaios começam em 2{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Como não há medida em 1{,}5, vou usar o valor mais próximo disponível nos ensaios, que é v_s(2{,}0)=5{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}. Justificativa prática: 1{,}5 é ainda mais diluído que 2{,}0, e para diluições menores a velocidade de sedimentação tende a permanecer igual ou aumentar (partículas menos “atrapalhadas”), então usar v_s(2{,}0)=5{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} é uma escolha razoável e não otimista. Se quiséssemos ser extremamente conservadores poderíamos reduzir esse valor, mas aqui seguiremos com v_s=5{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} (valor da tabela em 2{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).

Passo 3

Cálculo da área superficial requerida (passo a passo):
  • Aplicando a fórmula
A = \frac{Q_f}{v_s}.
  • Substituindo Q_f = 120\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e v_s = 5{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{h}:
A = \frac{120}{5{,}0} = 24\\ \mathrm{m}^2.
Interpretação: precisamos de 24\\ \mathrm{m}^2 de área superficial para que a taxa superficial seja igual à velocidade de sedimentação escolhida.

Passo 4

Cálculo do diâmetro do sedimentador (circular):
  • Fórmula da área de um círculo:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
  • Isolando D:
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
  • Substituindo A = 24\\ \mathrm{m}^2:
D = \sqrt{\frac{4\cdot 24}{\pi}} = \sqrt{\frac{96}{\pi}}.
  • Usando \pi \approx 3{,}1416:
\frac{96}{\pi} \approx 30{,}557\quad\Rightarrow\quad D \approx \sqrt{30{,}557}\approx 5{,}53\\ \mathrm{m}.
Portanto o diâmetro do sedimentador calculado é aproximadamente 5{,}53\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Balanço de massa para obter vazões de lama (underflow) e clarificado (overflow):
  • Conceito: massa de sólidos se conserva. Ou seja,
Q_f C_f = Q_u C_u + Q_o C_o,
onde
  • Q_u é a vazão da lama espessada (underflow, \mathrm{m}^3/\mathrm{h});
  • C_u é a concentração de sólidos na lama ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3);
  • Q_o é a vazão do clarificado (overflow, \mathrm{m}^3/\mathrm{h});
  • C_o é a concentração de sólidos no clarificado ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
  • Normalmente, em projetos de espessamento, assume-se que o clarificado tem concentração desprezível (ou muito baixa) comparada à alimentação e ao underflow. O enunciado não fornece C_o, então vou assumir C_o \approx 0 (clarificado praticamente livre de sólidos). Assim o balanço simplifica para:
Q_f C_f = Q_u C_u.
  • Calculando a vazão de sólidos na alimentação:
\dot{m}_s = Q_f C_f = 120 \times 1{,}5 = 180\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
  • Então Q_u = \dfrac{\dot{m}_s}{C_u} = \dfrac{180}{17{,}5}.
    Calculemos:
Q_u = \frac{180}{17{,}5} \approx 10{,}2857\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \approx 10{,}29\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • A vazão do clarificado é a diferença entre alimentação e underflow:
Q_o = Q_f - Q_u = 120 - 10{,}2857 \approx 109{,}7143\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \approx 109{,}71\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.

Passo 6

Verificação rápida e observações finais:
  • Checagem de ordem de grandeza: alimentação 120\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} com concentração muito baixa ( 1{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) resulta em pouca massa de sólidos ( 180\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}). Espessando para 17{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 obtém-se um underflow pequeno ( \sim 10{,}3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}), o que é consistente.
  • Observação sobre a hipótese de projeto: usei v_s(2{,}0)=5{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{h} por falta de dado em 1{,}5. Se desejar um projeto mais conservador, reduzir v_s reduziria a área disponível (aumentaria a área necessária) e aumentaria o diâmetro. Também poderíamos interpolar/ajustar a curva dos ensaios se houvesse mais pontos; aqui optei por usar o valor medido mais próximo.

Resposta

\text{Diâmetro do sedimentador: }D \approx 5{,}53\\ \mathrm{m}â
\text{Vazão de lama (underflow): }Q_u \approx 10{,}29\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}ã
\text{Vazão do clarificado (overflow): }Q_o \approx 109{,}71\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}ã

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