Uma indústria necessita projetar um sedimentador para espessar uma suspensão que possui vazão de
desde uma concentração de
até
de sólidos suspensos. Foram realizados ensaios de sedimentação em um tubo transparente utilizando-se várias concentrações da suspensão, de maneira a se obter as velocidades iniciais de sedimentação em função da concentração. A tabela abaixo fornece os resultados obtidos nos ensaios.
Concentração
2,0
3
5,5
10
15
Velocidade
5,0
2,5
1,0
0,4
0,2
a) Determinar o diâmetro do sedimentador.
b) Calcular, através do balanço de massa, a vazão de lama que será espessada e a vazão do clarificado.
| Concentração
|
2,0 | 3 | 5,5 | 10 | 15 |
| Velocidade
|
5,0 | 2,5 | 1,0 | 0,4 | 0,2 |
b) Calcular, através do balanço de massa, a vazão de lama que será espessada e a vazão do clarificado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o diâmetro do sedimentador (assumindo que é circular).
- (b) Pelo balanço de massa, calcular a vazão de lama espessada (underflow) e a vazão do clarificado (overflow).
Dados fornecidos:
- Vazão de alimentação:
. - Concentração de sólidos na alimentação:
. - Concentração de sólidos no produto espessado (lama):
. - Resultados dos ensaios (tabela dada no enunciado — estou usando esses valores diretamente):
Observação: esta tabela fornece as velocidades iniciais de sedimentação em função da concentração — vou usar esses valores explicitamente ao projetar o sedimentador.
Passo 2
Escolha do método e hipótese necessária (explicação didática):
- Para projetar a área superficial de um sedimentador/espessador usamos o conceito de taxa superficial de escoamento (também chamada de surface overflow rate,
). A ideia física: se a velocidade superficial (vazão por área) for menor ou igual à velocidade de sedimentação das partículas, as partículas conseguem sedimentar antes de serem carregadas pelo fluxo para o transbordo. Portanto a condição de projeto é
- Daí a fórmula simples para a área mínima:
Nesta fórmula:
-
é a área superficial do sedimentador ( ); -
é a vazão volumétrica de alimentação ( ); -
é a velocidade de sedimentação correspondente à concentração da suspensão na alimentação ( ).
Escolha do valor de
: o enunciado dá
, mas os ensaios começam em
. Como não há medida em
, vou usar o valor mais próximo disponível nos ensaios, que é
. Justificativa prática:
é ainda mais diluído que
, e para diluições menores a velocidade de sedimentação tende a permanecer igual ou aumentar (partículas menos “atrapalhadas”), então usar
é uma escolha razoável e não otimista. Se quiséssemos ser extremamente conservadores poderíamos reduzir esse valor, mas aqui seguiremos com
(valor da tabela em
).
Passo 3
Cálculo da área superficial requerida (passo a passo):
- Aplicando a fórmula
- Substituindo
e :
Interpretação: precisamos de
de área superficial para que a taxa superficial seja igual à velocidade de sedimentação escolhida.
Passo 4
Cálculo do diâmetro do sedimentador (circular):
- Fórmula da área de um círculo:
- Isolando
:
- Substituindo
:
- Usando
:
Portanto o diâmetro do sedimentador calculado é aproximadamente
.
Passo 5
Balanço de massa para obter vazões de lama (underflow) e clarificado (overflow):
- Conceito: massa de sólidos se conserva. Ou seja,
onde
-
é a vazão da lama espessada (underflow, ); -
é a concentração de sólidos na lama ( ); -
é a vazão do clarificado (overflow, ); -
é a concentração de sólidos no clarificado ( ). -
Normalmente, em projetos de espessamento, assume-se que o clarificado tem concentração desprezível (ou muito baixa) comparada à alimentação e ao underflow. O enunciado não fornece
, então vou assumir (clarificado praticamente livre de sólidos). Assim o balanço simplifica para:
- Calculando a vazão de sólidos na alimentação:
- Então
.
Calculemos:
- A vazão do clarificado é a diferença entre alimentação e underflow:
Passo 6
Verificação rápida e observações finais:
- Checagem de ordem de grandeza: alimentação
com concentração muito baixa ( ) resulta em pouca massa de sólidos ( ). Espessando para obtém-se um underflow pequeno ( ), o que é consistente. - Observação sobre a hipótese de projeto: usei
por falta de dado em . Se desejar um projeto mais conservador, reduzir reduziria a área disponível (aumentaria a área necessária) e aumentaria o diâmetro. Também poderíamos interpolar/ajustar a curva dos ensaios se houvesse mais pontos; aqui optei por usar o valor medido mais próximo.