Um lodo biológico, proveniente de um tratamento secundário de rejeitos, deve ser concentrado de 2500 \mathrm{mg} / \mathrm{L} até 10900 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, em um decantador contínuo. A vazão de entrada na unidade é de 4,5 \times 10^{6} \mathrm{~L} / dia. Determinar a área necessária no decantador a partir dos dados de sedimentação disponibilizados na tabela abaixo.
\theta(\mathrm{min}) 0 1 2 3 5 8 12 16 20 25
Z(\mathrm{~m}) 51 43,5 37 30,6 23 17,9 14,3 12,2 11,2 10,7

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área necessária no decantador contínuo para concentrar o lodo de 2500\\ \mathrm{mg/L} até 10900\\ \mathrm{mg/L}, sabendo que a vazão de entrada é 4{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{L/dia} e que a tabela fornece a posição do interfase Z (em metros) em função do tempo \theta (em minutos) num ensaio de decantação em batelada.
Dados fornecidos (copiados da tabela):
\begin{array}{c|cccccccccc} \theta(\text{min}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 12 & 16 & 20 & 25\\\ \hline Z(\text{m}) & 51 & 43{,}5 & 37 & 30{,}6 & 23 & 17{,}9 & 14{,}3 & 12{,}2 & 11{,}2 & 10{,}7 \end{array}
Informações chave que vamos usar mais à frente (já anotadas):
  • concentração inicial (alimentação): C_0 = 2500\\ \mathrm{mg/L},
  • concentração desejada do lodo (espessado): C_u = 10900\\ \mathrm{mg/L},
  • vazão: Q = 4{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{L/dia},
  • curva de decantação: Z(\theta) dada na tabela.

Passo 2

Breve aula-prática sobre o raciocínio que vamos usar (sem pular etapas):
  1. Ensaio de decantação em batelada: supondo que, acima do interfase Z(t), a água está praticamente isenta de sólidos e abaixo do interfase a suspensão tem concentração homogênea C(t), a conservação de sólidos no ensaio dá
C(t)\,Z(t) = C_0\,H_0,
onde H_0 é a altura inicial do ensaio (aqui H_0=Z(0)) e C_0 a concentração inicial do ensaio. Explico: a massa total de sólidos por unidade de área é concentração vezes altura; essa massa não se perde no ensaio, logo é constante.
  1. Velocidade de sedimentação em função da concentração: a velocidade de queda do interfase é a velocidade de sedimentação média dos sólidos na vizinhança do interfase. Em fórmulas:
v\text{(C)} = -\frac{dZ}{dt}.
Aqui v\text{(C)} é a velocidade de sedimentação (m/min) quando a concentração sob o interfase é C. O sinal negativo aparece porque Z diminui com o tempo; tomamos v positivo como magnitude.
  1. Fluxo de sólidos (fluxo superficial) usado no projeto do decantador contínuo: a velocidade com que os sólidos atravessam uma seção horizontal é
J\text{(C)} = C\;v\text{(C)}.
Unidades: se C está em \mathrm{g/m^3} e v em \mathrm{m/min}, então J tem unidade \mathrm{g/(m^2\cdot min)}.
  1. Balanço para o decantador contínuo (modelo usual): a área necessária A é obtida igualando o fluxo de sólidos de alimentação por unidade de área ao fluxo de sólidos suportado pela coluna em determinado nível:
\frac{Q\,C_0}{A} = J(C^\ast),
onde C^\ast é a concentração no ponto do perfil que controla o fluxo (na prática, escolhemos C^\ast = C_u quando se quer projetar para obter o espessamento até C_u). Isolando A:
A = \frac{Q\,C_0}{J(C_u)} = \frac{Q\,C_0}{C_u\,v(C_u)}.
Explico as variáveis:
  • Q em \mathrm{m^3/min},
  • C_0 e C_u em \mathrm{g/m^3} (lembre: 1\\ \mathrm{mg/L}=1\\ \mathrm{g/m^3}),
  • v(C_u) em \mathrm{m/min},
  • A em \mathrm{m^2}.
Agora que você entendeu porque usamos essas fórmulas, vamos aplicar aos dados do ensaio.

Passo 3

Converter unidades e extrair H_0:
  • Da tabela, a altura inicial é Z(0)=51\\ \mathrm{m}. Então H_0=51\\ \mathrm{m}.
  • Converter concentrações: C_0=2500\\ \mathrm{mg/L}=2500\\ \mathrm{g/m^3}. C_u=10900\\ \mathrm{mg/L}=10900\\ \mathrm{g/m^3}.
  • Converter vazão para \mathrm{m^3/min}:
Q = 4{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{L/dia} = 4500\\ \mathrm{m^3/dia}.
Como 1\\ \text{dia}=1440\\ \text{min},
Q = \frac{4500}{1440}\\ \mathrm{m^3/min} = 3{,}125\\ \mathrm{m^3/min}.

Passo 4

Determinar a posição do interfase Z que corresponde à concentração C_u usando conservação de sólidos do ensaio:
C_u\,Z_u = C_0\,H_0 \quad\Longrightarrow\quad Z_u = \frac{C_0\,H_0}{C_u}.
Substituindo números:
Z_u = \frac{2500\cdot 51}{10900}\\ \mathrm{m} = \frac{127500}{10900}\\ \mathrm{m}\approx 11{,}6972477\\ \mathrm{m}.
Ou seja, quando a concentração abaixo do interfase for 10900\\ \mathrm{mg/L}, o interfase estará aproximadamente a 11{,}697\\ \mathrm{m} do topo.

Passo 5

Encontrar o tempo \theta correspondente a Z_u fazendo interpolação linear entre pontos da tabela próximos a Z=11{,}697\\ \mathrm{m}.
Na tabela temos:
Z(16)=12{,}2\\ \mathrm{m},\qquad Z(20)=11{,}2\\ \mathrm{m}.
Como 11{,}697 está entre 12{,}2 e 11{,}2, interpolamos linearmente:
\theta_u = 16 + \frac{12{,}2 - 11{,}6972477}{12{,}2-11{,}2}\times(20-16).
Calcule:
\theta_u = 16 + \frac{0{,}5027523}{1{,}0}\times4 \approx 16 + 2{,}0110092 \approx 18{,}011\\ \text{min}.

Passo 6

Determinar a velocidade de sedimentação v(C_u) próximo desse tempo. Usamos a inclinação da curva Z(\theta) entre \theta=16 e \theta=20 (boa aproximação porque \theta_u está nesse intervalo). A inclinação média é
\frac{\Delta Z}{\Delta \theta} = \frac{Z(20)-Z(16)}{20-16} = \frac{11{,}2-12{,}2}{4} = \frac{-1{,}0}{4} = -0{,}25\\ \mathrm{m/min}.
A velocidade de sedimentação (módulo) é
v(C_u) = -\frac{dZ}{dt}\approx -\left(\frac{\Delta Z}{\Delta \theta}\right) = 0{,}25\\ \mathrm{m/min}.
Explicação: Z diminui com o tempo; a magnitude 0{,}25\\ \mathrm{m/min} é a velocidade com que o interfase desce, portanto a velocidade de sedimentação média na região.

Passo 7

Calcular o fluxo de sólidos J(C_u):
J(C_u)=C_u\,v(C_u)=10900\\ \mathrm{g/m^3}\times 0{,}25\\ \mathrm{m/min}=2725\\ \mathrm{g/(m^2\cdot min)}.

Passo 8

Aplicar a fórmula do projeto para achar a área:
A=\frac{Q\,C_0}{J(C_u)}.
Já temos Q=3{,}125\\ \mathrm{m^3/min} e C_0=2500\\ \mathrm{g/m^3}. Então
Q\,C_0 = 3{,}125\times 2500 = 7812{,}5\\ \mathrm{g/min}.
Logo
A=\frac{7812{,}5}{2725}\\ \mathrm{m^2}\approx 2{,}8665138\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando com razoável precisão para projeto:
A\approx 2{,}87\\ \mathrm{m^2}.

Passo 9

Resumo e verificação rápida de unidades (pra ficar seguro):
  • Q\,C_0 em \mathrm{m^3/min}\cdot\mathrm{g/m^3}=\mathrm{g/min},
  • J em \mathrm{g/(m^2\cdot min)},
  • divisão dá \mathrm{m^2}. Tudo coerente.
Se você ficar nervoso na prova: memorize o fluxo J=Cv e a fórmula A=Q C_0 / (C v) — são as que resolvem a maior parte dos exercícios de espessamento.

Resposta

A \approx 2{,}87\\ \mathrm{m^{2}}

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