Calcule as seguintes integrais:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{4 \pi}{4}} \sin ^{5} x \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \sin^{5}x\cos^{3}x\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são \frac{\pi}{4} (início) e \pi (fim) e a função integranda é \sin^{5}x\cos^{3}x. A tarefa é calcular essa integral definida e apresentar o resultado numérico.

Passo 2

Observação sobre a técnica: quando temos potências ímpares de seno ou cosseno é conveniente separar um fator simples ( \sin x ou \cos x) para usar a substituição u=\cos x ou u=\sin x. Aqui tanto \sin quanto \cos aparecem com potência ímpar, então uma escolha prática é separar um fator \sin x e escrever as outras potências em função de \cos x usando a identidade pitagórica
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1,
ou seja
\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x.
Isso permite usar a substituição
u=\cos x,\qquad du=-\sin x\,dx,
pois ao separar um \sin x\,dx teremos exatamente -du.

Passo 3

Separe um fator \sin x e escreva \sin^{4}x em termos de \cos x:
\sin^{5}x\cos^{3}x = (\sin^{4}x)\,(\sin x)\,\cos^{3}x = (1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x\,\cos^{3}x.
Agora faça a substituição u=\cos x, du=-\sin x\,dx. Os limites também mudam:
x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow u=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad x=\pi\Rightarrow u=\cos\pi=-1.
A integral passa a ser
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x\,\cos^{3}x\,dx = -\int_{u=\frac{\sqrt{2}}{2}}^{u=-1} (1-u^{2})^{2}\,u^{3}\,du.
Invertendo os limites para ficar na ordem crescente (o que troca o sinal),
-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-1}(1-u^{2})^{2}u^{3}\,du = \int_{-1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})^{2}u^{3}\,du.

Passo 4

Expanda o integrando para integrar como polinômio. Primeiro
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Multiplicando por u^{3} obtemos
(1-u^{2})^{2}u^{3} = u^{3} - 2u^{5} + u^{7}.
Portanto a integral é
\int_{-1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\bigl(u^{3} - 2u^{5} + u^{7}\bigr)\,du.
Integramos termo a termo (lembrando que \int u^{n}du=\tfrac{u^{n+1}}{n+1}):
\int \bigl(u^{3} - 2u^{5} + u^{7}\bigr)\,du = \frac{u^{4}}{4} - \frac{2u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8} = \frac{u^{4}}{4} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{u^{8}}{8}.

Passo 5

Agora avalie a primitiva nos limites u=-1 e u=\frac{\sqrt{2}}{2}. Chame a primitiva de
F(u)=\frac{u^{4}}{4} - \frac{u^{6}}{3} + \frac{u^{8}}{8}.
Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-\frac{(-1)^{6}}{3}+\frac{(-1)^{8}}{8} =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}.
Colocando em denominador comum 24:
F(-1)=\frac{6}{24}-\frac{8}{24}+\frac{3}{24}=\frac{1}{24}.
Calcule F\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right). Note que \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}, então
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4},\qquad \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{6}=\frac{1}{8},\qquad \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{8}=\frac{1}{16}.
Logo
F\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{1/4}{4}-\frac{1/8}{3}+\frac{1/16}{8} =\frac{1}{16}-\frac{1}{24}+\frac{1}{128}.
Colocando em denominador comum 384:
F\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{24}{384}-\frac{16}{384}+\frac{3}{384}=\frac{11}{384}.

Passo 6

A integral definida é F\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-F(-1) com os limites na ordem correta ( -1 a \frac{\sqrt{2}}{2}):
\int_{-1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\bigl(u^{3}-2u^{5}+u^{7}\bigr)\,du = F\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-F(-1) =\frac{11}{384}-\frac{1}{24}.
Escrevendo \tfrac{1}{24}=\tfrac{16}{384} obtemos
\frac{11}{384}-\frac{16}{384}=-\frac{5}{384}.

Resposta

-\dfrac{5}{384}

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