Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
(início) e
(fim) e a função integranda é
. A tarefa é calcular essa integral definida e apresentar o resultado numérico.
Passo 2
Observação sobre a técnica: quando temos potências ímpares de seno ou cosseno é conveniente separar um fator simples (
ou
) para usar a substituição
ou
. Aqui tanto
quanto
aparecem com potência ímpar, então uma escolha prática é separar um fator
e escrever as outras potências em função de
usando a identidade pitagórica
ou seja
Isso permite usar a substituição
pois ao separar um
teremos exatamente
.
Passo 3
Separe um fator
e escreva
em termos de
:
Agora faça a substituição
,
. Os limites também mudam:
A integral passa a ser
Invertendo os limites para ficar na ordem crescente (o que troca o sinal),
Passo 4
Expanda o integrando para integrar como polinômio. Primeiro
Multiplicando por
obtemos
Portanto a integral é
Integramos termo a termo (lembrando que
):
Passo 5
Agora avalie a primitiva nos limites
e
. Chame a primitiva de
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Calcule
. Note que
, então
Logo
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
A integral definida é
com os limites na ordem correta (
a
):
Escrevendo
obtemos