Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Integrando:
. - Limites de integração: de
até .
Pergunta: encontrar o valor numérico de.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Antes de aplicar, uma mini-aula sobre a fórmula:
A regra do produto para derivadas diz que, se e
, então
A regra do produto para derivadas diz que, se
Integrando dos dois lados em
e rearranjando obtém-se a fórmula da integração por partes para integrais definidas:
Aqui:
-
é uma função que será diferenciada (gera ), -
é a parte que será integrada (gera ), -
é a diferencial de , -
é uma primitiva de .
Observação prática: escolhe-se
de forma que sua derivada
seja mais simples (por exemplo, diminuir o grau de um polinômio) e escolhe-se
de forma que seja fácil obter
.
Passo 3
Aplicando à nossa integral, uma escolha natural é
porque ao derivar
fica mais simples (
) e integrar
é direto. Calculamos:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes em
:
Expliquei: o primeiro termo é a avaliação do produto
nos limites; o segundo é a integral restante de
, que aqui é
.
Passo 5
Avaliaremos os termos separadamente. Primeiro o termo de fronteira:
Como
e
, segue que
Passo 6
Agora a integral restante:
Uma primitiva de
é
, logo
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 7
Voltando à expressão da Passo 4:
Interpretação rápida: o produto
integra para um valor negativo sobre
porque a parte onde
é negativa (próxima de
) pesa o suficiente para tornar a integral total negativa.