Calcule as integrais a seguir:
\int_{0}^{\pi} x \cdot \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} x \cdot \cos x \, d x.
Informações dadas:
  • Integrando: \;x\cos x.
  • Limites de integração: de \;0 até \;\pi.
    Pergunta: encontrar o valor numérico de \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Antes de aplicar, uma mini-aula sobre a fórmula:
A regra do produto para derivadas diz que, se u=u(x) e v=v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.
Integrando dos dois lados em [a,b] e rearranjando obtém-se a fórmula da integração por partes para integrais definidas:
\int_{a}^{b} u\,dv = \big[ u v\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que será diferenciada (gera du),
  • dv é a parte que será integrada (gera v),
  • du é a diferencial de u,
  • v é uma primitiva de dv.
Observação prática: escolhe-se u de forma que sua derivada du seja mais simples (por exemplo, diminuir o grau de um polinômio) e escolhe-se dv de forma que seja fácil obter v.

Passo 3

Aplicando à nossa integral, uma escolha natural é
u = x,\qquad dv = \cos x\,dx,
porque ao derivar x fica mais simples ( du=dx) e integrar \cos x é direto. Calculamos:
du = dx,\qquad v=\int \cos x\,dx = \sin x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes em [0,\pi]:
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = \big[ x\sin x\big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx.
Expliquei: o primeiro termo é a avaliação do produto x\sin x nos limites; o segundo é a integral restante de v\,du, que aqui é \sin x\cdot dx.

Passo 5

Avaliaremos os termos separadamente. Primeiro o termo de fronteira:
\big[ x\sin x\big]_{0}^{\pi} = \pi\sin\pi - 0\cdot\sin 0.
Como \sin\pi=0 e \sin 0=0, segue que
\big[ x\sin x\big]_{0}^{\pi} = 0 - 0 = 0.

Passo 6

Agora a integral restante:
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx.
Uma primitiva de \sin x é -\cos x, logo
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = \big[ -\cos x\big]_{0}^{\pi} = \big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos 0\big).
Sabendo que \cos\pi=-1 e \cos 0=1, obtemos
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = \big(-(-1)\big)-\big(-1\big)=1-(-1)=2.

Passo 7

Voltando à expressão da Passo 4:
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = 0 - \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = 0 - 2 = -2.
Interpretação rápida: o produto x\cos x integra para um valor negativo sobre [0,\pi] porque a parte onde \cos x é negativa (próxima de \pi) pesa o suficiente para tornar a integral total negativa.

Resposta

-2

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