Calcule as seguintes integrais:
\int_{-1}^{1}\left[\cos (2 t) \vec{i}+\frac{1}{1+t^{2}} \vec{j}+e^{-t} \vec{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial
\int_{-1}^{1}\bigl[\cos(2t)\,\vec{i}+\tfrac{1}{1+t^{2}}\,\vec{j}+e^{-t}\,\vec{k}\bigr]\,dt.
Como o integrando é dado em componentes, vamos usar a propriedade da integral vetorial que diz que se integra cada componente separadamente.

Passo 2

Calcular a componente na direção \vec{i}:
\int_{-1}^{1}\cos(2t)\,dt.
Uma antiderivada de \cos(2t) é
\frac{1}{2}\sin(2t).
Logo,
\int_{-1}^{1}\cos(2t)\,dt =\left[\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right]_{t=-1}^{t=1} =\frac{1}{2}\bigl(\sin(2)-\sin(-2)\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(\sin(2)+\sin(2)\bigr) =\sin(2).

Passo 3

Calcular a componente na direção \vec{j}:
\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
A antiderivada de 1/(1+t^{2}) é \arctan t. Então
\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =\bigl[\arctan t\bigr]_{t=-1}^{t=1} =\arctan(1)-\arctan(-1) =\frac{\pi}{4}-\bigl(-\frac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular a componente na direção \vec{k}:
\int_{-1}^{1}e^{-t}\,dt.
Uma antiderivada de e^{-t} é -e^{-t}. Portanto
\int_{-1}^{1}e^{-t}\,dt =\bigl[-e^{-t}\bigr]_{t=-1}^{t=1} =\bigl(-e^{-1}\bigr)-\bigl(-e^{1}\bigr) =e-e^{-1}.

Resposta

\int_{-1}^{1}\bigl[\cos(2t)\,\vec{i}+\tfrac{1}{1+t^{2}}\,\vec{j}+e^{-t}\,\vec{k}\bigr]\,dt =\sin(2)\,\vec{i}+\frac{\pi}{2}\,\vec{j}+\bigl(e-e^{-1}\bigr)\,\vec{k}.

Exercícios relacionados