Fator Integrante
\left(x^{2}+y^{2}+x\right) d x+x y d y=0

Passo 1

Enunciado: a equação diferencial é
\left(x^{2}+y^{2}+x\right)\,dx + x y\,dy = 0.
O que o problema pede: encontrar a solução geral (implícita) da equação, provavelmente usando um fator integrante, já que não parece imediatamente exata. Informações dadas: os coeficientes da forma diferencial são M(x,y)=x^{2}+y^{2}+x (multiplicando dx) e N(x,y)=x y (multiplicando dy). Não há outras condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Verificar se a equação é exata: uma forma M\,dx+N\,dy é exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+x\bigr)=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\bigr)=y.
Comparando, \partial M/\partial y=2y e \partial N/\partial x=y. Como 2y\neq y em geral, a equação não é exata. Portanto precisamos procurar um fator integrante.

Passo 3

Ideia do fator integrante dependente só de x: se existir \mu=\mu(x) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata, então deve valer
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N},
quando o lado direito depende só de x. Vou calcular o lado direito usando M e N originais:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2y-y}{x y}=\frac{y}{x y}=\frac{1}{x}.
Observação: eu peguei os valores de \partial M/\partial y e \partial N/\partial x do passo anterior e os inseri aqui. O resultado \tfrac{1}{x} depende apenas de x, logo existe um fator integrante que é função só de x.
Agora resolvo para \mu(x):
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{d\mu}{\mu}=\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\ln|\mu|=\ln|x|+C_1.
Exponenciando e absorvendo a constante em uma multiplicação, obtemos um fator integrante conveniente
\mu(x)=x,
assumindo x\neq 0. (Poderíamos usar \mu(x)=|x|, mas multiplicar a equação por x é suficiente para obter uma forma exata localmente em x\neq0.)

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=x. A equação multiplicada fica
x\bigl(x^{2}+y^{2}+x\bigr)\,dx + x\cdot(xy)\,dy=0.
Simplificando os termos:
\bigl(x^{3}+x y^{2}+x^{2}\bigr)\,dx + x^{2}y\,dy=0.
Defino os novos coeficientes \widetilde{M}(x,y)=x^{3}+x y^{2}+x^{2} e \widetilde{N}(x,y)=x^{2}y. Verifico exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=2xy,
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=2xy.
Como as derivadas coincidem, a forma agora é exata. Então existe uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial \psi/\partial x=\widetilde{M} e \partial \psi/\partial y=\widetilde{N}.

Passo 5

Encontrar a função potencial \psi(x,y). Integro \widetilde{M} em relação a x:
\psi(x,y)=\int \bigl(x^{3}+x y^{2}+x^{2}\bigr)\,dx.
Faço a integral termo a termo (explicando cada passo):
  • \displaystyle \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},
  • \displaystyle \int x y^{2}\,dx = y^{2}\int x\,dx = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}y^{2}}{2} (aqui tratei y como constante ao integrar em x),
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Somando e incluindo uma função arbitrária de y, h(y), que aparece porque a derivada parcial em x anula termos dependentes só de y:
\psi(x,y)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+h(y).

Passo 6

Determinar h(y) usando a condição \partial \psi/\partial y=\widetilde{N}=x^{2}y. Calculo \partial \psi/\partial y:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+h(y)\Bigr)=x^{2}y + h'(y).
Igualando a \widetilde{N}=x^{2}y encontramos
x^{2}y + h'(y)=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante; podemos absorver essa constante na constante da solução geral.

Passo 7

Escrevo a solução implícita geral usando \psi(x,y)= constante. Assim a solução (para x\neq0) é
\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos, se quisermos, multiplicar por 12 para eliminar frações:
3x^{4}+6x^{2}y^{2}+4x^{3}=C',
com C'=12C, mas a forma com frações é perfeitamente aceitável e mais compacta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}=C

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