Fator Integrante
Passo 1
Enunciado: a equação diferencial é
O que o problema pede: encontrar a solução geral (implícita) da equação, provavelmente usando um fator integrante, já que não parece imediatamente exata. Informações dadas: os coeficientes da forma diferencial são
(multiplicando
) e
(multiplicando
). Não há outras condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Verificar se a equação é exata: uma forma
é exata se
. Calculo as derivadas parciais:
Comparando,
e
. Como
em geral, a equação não é exata. Portanto precisamos procurar um fator integrante.
Passo 3
Ideia do fator integrante dependente só de
: se existir
tal que
seja exata, então deve valer
quando o lado direito depende só de
. Vou calcular o lado direito usando
e
originais:
Observação: eu peguei os valores de
e
do passo anterior e os inseri aqui. O resultado
depende apenas de
, logo existe um fator integrante que é função só de
.
Agora resolvo para
:
Integrando ambos os lados,
Exponenciando e absorvendo a constante em uma multiplicação, obtemos um fator integrante conveniente
assumindo
. (Poderíamos usar
, mas multiplicar a equação por
é suficiente para obter uma forma exata localmente em
.)
Passo 4
Multiplico a equação original por
. A equação multiplicada fica
Simplificando os termos:
Defino os novos coeficientes
e
. Verifico exatidão:
Como as derivadas coincidem, a forma agora é exata. Então existe uma função potencial
tal que
e
.
Passo 5
Encontrar a função potencial
. Integro
em relação a
:
Faço a integral termo a termo (explicando cada passo):
-
, -
(aqui tratei como constante ao integrar em ), -
.
Somando e incluindo uma função arbitrária de
,
, que aparece porque a derivada parcial em
anula termos dependentes só de
:
Passo 6
Determinar
usando a condição
. Calculo
:
Igualando a
encontramos
Portanto
é constante; podemos absorver essa constante na constante da solução geral.
Passo 7
Escrevo a solução implícita geral usando
constante. Assim a solução (para
) é
onde
é constante arbitrária. Podemos, se quisermos, multiplicar por
para eliminar frações:
com
, mas a forma com frações é perfeitamente aceitável e mais compacta.