Calcule as seguintes integrais.
\int \ln \left(1+x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração por partes, pois temos um logaritmo multiplicado por dx.

Passo 2

Escolhemos as funções para integração por partes:
u = \ln\bigl(1+x^{2}\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = \int dv = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Simplificamos o integrando remanescente:
x \cdot \frac{2x}{1+x^{2}} = \frac{2x^{2}}{1+x^{2}} = 2 - \frac{2}{1+x^{2}}.
Logo
\int x \cdot \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \int \Bigl(2 - \frac{2}{1+x^{2}}\Bigr)\,dx = 2x - 2\arctan(x) + C_{1}.

Passo 5

Voltando à integral original:
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - \bigl(2x - 2\arctan(x)\bigr) + C
onde C é a constante de integração geral. Simplificando,
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C.

Resposta

\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C.

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