Determine o trabalho realizado pelo campo de força \vec{f}(x, y)=x \vec{i}+x y \vec{j} sobre uma partícula que dá meia volta no círculo x^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \vec f(x,y)=x\,\vec i + x y\,\vec j ao longo de meia volta do círculo x^2+y^2=4 no sentido anti-horário.
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial não conservativo; vamos parametrizar a curva e calcular
W=\int_C \vec f\cdot d\vec r.

Passo 2

Antes de parametrizar, verificamos se \vec f é conservativo. Escrevendo \vec f=(P,Q) com P(x,y)=x e Q(x,y)=x y, temos
\frac{\partial P}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=y,
como 0\neq y em geral, \vec f não é conservativo. Logo, é necessário usar parametrização de C.

Passo 3

Parametrizamos a meia-volta de raio 2 em sentido anti-horário por
\vec r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =(2\cos t,\;2\sin t), \quad 0\le t\le\pi.
Então
\vec r\,'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t).

Passo 4

Expressamos \vec f ao longo da curva e o produto escalar:
\vec f\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(2\cos t,\; (2\cos t)(2\sin t)\bigr) =(2\cos t,\;4\cos t\sin t),
\vec f\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r\,'(t) =(2\cos t)(-2\sin t)+(4\cos t\sin t)(2\cos t) =-4\cos t\sin t+8\cos^2t\sin t.
Portanto
W=\int_0^{\pi}\bigl(-4\cos t\sin t+8\cos^2t\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Separamos em
I_1=\int_0^{\pi}8\cos^2t\sin t\,dt, \quad I_2=\int_0^{\pi}(-4\cos t\sin t)\,dt.
Para I_1, use u=\cos t, du=-\sin t\,dt, quando t=0\to u=1, t=\pi\to u=-1:
I_1 =\int_0^{\pi}8\cos^2t\sin t\,dt =-8\int_{1}^{-1}u^2\,du =8\int_{-1}^{1}u^2\,du =8\Bigl[\frac{u^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =8\cdot\frac{2}{3} =\frac{16}{3}.
Para I_2, faça v=\sin t, dv=\cos t\,dt:
I_2 =-4\int_0^{\pi}\cos t\sin t\,dt =-4\Bigl[\frac{\sin^2t}{2}\Bigr]_0^{\pi} =0.
Logo
W=I_1+I_2=\frac{16}{3}+0=\frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

Exercícios relacionados