Determine a primitiva mais geral:
\int \frac{1}{x \sqrt{\ln ^{2}(x)-16}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral da função
\frac{1}{x\sqrt{\ln^{2}(x)-16}}.
As informações relevantes são:
  • A integral é
\int \frac{1}{x\sqrt{\ln^{2}(x)-16}}\,dx.
  • Temos a presença de \ln(x) e de \frac{dx}{x}, o que sugere uma substituição com t=\ln(x).
  • Há uma raiz do tipo \sqrt{t^{2}-a^{2}} com a=4, pois \ln^{2}(x)-16=(\ln(x))^{2}-4^{2}.
  • Precisaremos tratar a condição de domínio onde a raiz é real, ou seja \ln^{2}(x)-16>0, que equivale a |\ln(x)|>4 (isto dá x>e^{4} ou 0<x<e^{-4}). Vou resolver a integral simbolicamente e, ao final, comentar sobre o domínio e valores absolutos.

Passo 2

Faço a substituição natural t=\ln(x). Isso é muito útil porque dt=\dfrac{dx}{x}, então dx/x = dt. Substituindo na integral obtemos uma integral em t:
\int \frac{1}{x\sqrt{\ln^{2}(x)-16}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-16}}\,dt.
Agora o problema virou encontrar a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{t^{2}-16}} em função de t.

Passo 3

Estudo a integral padrão
\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}}\,dt,
com a=4. Uma maneira didática de resolver essa integral é usar a substituição hiperbólica t=a\operatorname{cosh}(u), pois \operatorname{cosh}^{2}(u)-1=\operatorname{sinh}^{2}(u), o que simplifica a raiz. Vou aplicar isso com a=4.

Passo 4

Faça a substituição hiperbólica
t = 4\operatorname{cosh}(u).
Então
dt = 4\operatorname{sinh}(u)\,du
e
\sqrt{t^{2}-16} = \sqrt{(4\operatorname{cosh}(u))^{2}-4^{2}} = \sqrt{16(\operatorname{cosh}^{2}(u)-1)} = 4\operatorname{sinh}(u),
onde usamos que \operatorname{sinh}(u)\ge 0 quando \operatorname{cosh}(u)\ge 1 (caso t\ge 4). Substituindo na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-16}}\,dt = \int \frac{4\operatorname{sinh}(u)\,du}{4\operatorname{sinh}(u)} = \int du = u + C.
Voltando para t, temos u = \operatorname{arcosh}\!\left(\dfrac{t}{4}\right). Logo a primitiva é
\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{t}{4}\right) + C.

Passo 5

Transformo a expressão hiperbólica em logaritmo, que costuma ser a forma mais prática em provas. A identidade é
\operatorname{arcosh}(z)=\ln\!\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right).
Aplicando com z=\dfrac{t}{4} obtemos
\operatorname{arcosh}\!\left(\frac{t}{4}\right) = \ln\!\left(\frac{t}{4}+\sqrt{\frac{t^{2}}{16}-1}\right) = \ln\!\left(\frac{t+\sqrt{t^{2}-16}}{4}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{t+\sqrt{t^{2}-16}}{4}\right)=\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}-16}\big)-\ln(4) e -\ln(4) é apenas uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração. Portanto uma forma equivalente e mais simples da primitiva é
\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}-16}\big) + C.

Passo 6

Voltando à variável original x usando t=\ln(x), obtemos a primitiva da integral original:
\ln\!\Big(\ln(x)+\sqrt{\ln^{2}(x)-16}\Big) + C.
Devemos ter cuidado com valores absolutos: a expressão dentro do log precisa ser não nula e positiva para a forma sem valor absoluto; a forma correta e geral usa valor absoluto:
\ln\!\Big|\ln(x)+\sqrt{\ln^{2}(x)-16}\Big| + C.
Quanto ao domínio: a raiz exige \ln^{2}(x)-16>0, i.e. |\ln(x)|>4. Em termos de x isso significa x>e^{4} ou 0<x<e^{-4}. Dentro desses intervalos a primitiva acima é válida (o valor absoluto cuida do sinal quando \ln(x) é negativo).

Resposta

\displaystyle \ln\!\Big|\ln(x)+\sqrt{\ln^{2}(x)-16}\Big|+C

Exercícios relacionados