Determine a primitiva mais geral: \int \frac{1}{x \sqrt{\ln ^{2}(x)-16}} d x
Passo 1
O enunciado pede a primitiva mais geral da função
\frac{1}{x\sqrt{\ln^{2}(x)-16}}.
As informações relevantes são:
A integral é
\int \frac{1}{x\sqrt{\ln^{2}(x)-16}}\,dx.
Temos a presença de \ln(x) e de \frac{dx}{x}, o que sugere uma substituição com t=\ln(x).
Há uma raiz do tipo \sqrt{t^{2}-a^{2}} com a=4, pois \ln^{2}(x)-16=(\ln(x))^{2}-4^{2}.
Precisaremos tratar a condição de domínio onde a raiz é real, ou seja \ln^{2}(x)-16>0, que equivale a |\ln(x)|>4 (isto dá x>e^{4} ou 0<x<e^{-4}). Vou resolver a integral simbolicamente e, ao final, comentar sobre o domínio e valores absolutos.
Passo 2
Faço a substituição natural t=\ln(x). Isso é muito útil porque dt=\dfrac{dx}{x}, então dx/x = dt. Substituindo na integral obtemos uma integral em t:
Agora o problema virou encontrar a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{t^{2}-16}} em função de t.
Passo 3
Estudo a integral padrão
\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-a^{2}}}\,dt,
com a=4. Uma maneira didática de resolver essa integral é usar a substituição hiperbólica t=a\operatorname{cosh}(u), pois \operatorname{cosh}^{2}(u)-1=\operatorname{sinh}^{2}(u), o que simplifica a raiz. Vou aplicar isso com a=4.
Como \ln\!\left(\dfrac{t+\sqrt{t^{2}-16}}{4}\right)=\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}-16}\big)-\ln(4) e -\ln(4) é apenas uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração. Portanto uma forma equivalente e mais simples da primitiva é
\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}-16}\big) + C.
Passo 6
Voltando à variável original x usando t=\ln(x), obtemos a primitiva da integral original:
\ln\!\Big(\ln(x)+\sqrt{\ln^{2}(x)-16}\Big) + C.
Devemos ter cuidado com valores absolutos: a expressão dentro do log precisa ser não nula e positiva para a forma sem valor absoluto; a forma correta e geral usa valor absoluto:
\ln\!\Big|\ln(x)+\sqrt{\ln^{2}(x)-16}\Big| + C.
Quanto ao domínio: a raiz exige \ln^{2}(x)-16>0, i.e. |\ln(x)|>4. Em termos de x isso significa x>e^{4} ou 0<x<e^{-4}. Dentro desses intervalos a primitiva acima é válida (o valor absoluto cuida do sinal quando \ln(x) é negativo).