Calcule as seguintes integrais:

\int \ln (2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln(2x+1)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é \ln(2x+1).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\ln(2x+1).
  • Devemos apresentar a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar essa técnica direitinho, passo a passo, porque ela é a mais natural aqui (logaritmo vezes 1). A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivação. Se temos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados e reorganizando, obtemos a fórmula
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx.
Nessa fórmula:
  • u(x) é uma função que escolhemos (geralmente uma que ao derivar simplifica).
  • v'(x)\,dx é a outra parte do integrando (a parte que integramos para obter v(x)).
No nosso caso a integranda é \ln(2x+1). Uma escolha clássica é tomar u=\ln(2x+1) e o restante dv=dx. Isso funciona bem porque derivar o log dá uma forma racional simples e integrar dx é trivial.

Passo 3

Aplicando a escolha:
u=\ln(2x+1),\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v:
  • du é a derivada de u multiplicada por dx. A derivada de \ln(2x+1) é \dfrac{2}{2x+1} porque, por regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln(2x+1)=\dfrac{1}{2x+1}\cdot(2). Assim
du = \frac{2}{2x+1}\,dx.
  • Integral de dv=dx é v=x. Então v=x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int \ln(2x+1)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \ln(2x+1)\,dx = x\ln(2x+1) - \int x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx.

Passo 5

Simplificamos o integrando \displaystyle x\cdot\frac{2}{2x+1}. Observe que
\frac{2x}{2x+1} = \frac{2x+1-1}{2x+1} = 1 - \frac{1}{2x+1}.
Portanto
\int x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{2x+1}\right)\,dx.
Substituindo na expressão anterior:
\int \ln(2x+1)\,dx = x\ln(2x+1) - \int\left(1 - \frac{1}{2x+1}\right)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos as integrais simples:
\int 1\,dx = x, \qquad \int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(2x+1).
(Explicação do segundo: faça a substituição t=2x+1, então dt=2\,dx, logo \int \frac{1}{2x+1}\,dx = \int \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\ln|t| = \frac{1}{2}\ln|2x+1|. Aqui 2x+1>0 nem sempre imposto, mas mantemos o valor geral com logaritmo absoluto; na prática escrevemos \ln(2x+1) se considerarmos intervalo onde isso faz sentido).
Substituindo:
\int \ln(2x+1)\,dx = x\ln(2x+1) - \biggl( x - \frac{1}{2}\ln(2x+1)\biggr) + C.

Passo 7

Simplificamos a expressão:
x\ln(2x+1) - x + \frac{1}{2}\ln(2x+1) + C.
Colocando os termos logarítmicos juntos:
\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ln(2x+1) - x + C.
Essa é uma forma compacta e final da primitiva.

Passo 8

Cheque rápido (importantíssimo na prova): derivamos a resposta para ver se volta à integranda. Seja
F(x)=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ln(2x+1)-x.
Então
F'(x)=\ln(2x+1) + \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\cdot\frac{2}{2x+1} - 1.
Mas \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\cdot\frac{2}{2x+1} = \dfrac{2x+1}{2x+1}=1. Logo
F'(x)=\ln(2x+1)+1-1=\ln(2x+1),
que é exatamente a integranda. Ótimo — resultado conferido.

Resposta

\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ln(2x+1)-x+C

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