Calcule as seguintes integrais:
\int \ln (2 x+1) d x
\int \ln (2 x+1) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função
tal que . - Devemos apresentar a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar essa técnica direitinho, passo a passo, porque ela é a mais natural aqui (logaritmo vezes 1). A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivação. Se temos duas funções
e
, então
Integrando ambos os lados e reorganizando, obtemos a fórmula
Nessa fórmula:
-
é uma função que escolhemos (geralmente uma que ao derivar simplifica). -
é a outra parte do integrando (a parte que integramos para obter ).
No nosso caso a integranda é
. Uma escolha clássica é tomar
e o restante
. Isso funciona bem porque derivar o log dá uma forma racional simples e integrar
é trivial.
Passo 3
Aplicando a escolha:
Agora calculamos
e
:
-
é a derivada de multiplicada por . A derivada de é porque, por regra da cadeia, . Assim
- Integral de
é . Então .
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Simplificamos o integrando
. Observe que
Portanto
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Agora calculamos as integrais simples:
(Explicação do segundo: faça a substituição
, então
, logo
. Aqui
nem sempre imposto, mas mantemos o valor geral com logaritmo absoluto; na prática escrevemos
se considerarmos intervalo onde isso faz sentido).
Substituindo:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Colocando os termos logarítmicos juntos:
Essa é uma forma compacta e final da primitiva.
Passo 8
Cheque rápido (importantíssimo na prova): derivamos a resposta para ver se volta à integranda. Seja
Então
Mas
. Logo
que é exatamente a integranda. Ótimo — resultado conferido.