Calcule as seguintes integrais:

\int z \operatorname{senh}(z) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int z \operatorname{senh}(z)\,dz.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de z (uma função polinomial simples) por \operatorname{senh}(z) (a função seno hiperbólico). Precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) dessa função, mais a constante de integração.

Passo 2

Qual técnica usar? Quando a integranda é um produto de uma função polinomial (como z) com uma função cuja primitiva conhecemos (como \operatorname{senh}(z) ou \operatorname{cosh}(z)), a ferramenta padrão é a fórmula de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u \, dv = u v - \int v \, du,
onde u e dv são escolhas suas (devem ser funções de z tal que possas calcular du e v). Aqui du é a derivada de u vezes dz e v é uma primitiva de dv.
Vou explicar isso de forma bem simples: você separa a integranda em duas partes, escolhe u como a parte que fica mais simples ao derivar, e dv como a parte que você sabe integrar facilmente. Depois aplica a fórmula acima.

Passo 3

Escolha das partes. Seguindo a regra prática (escolha u que simplifique ao derivar), escolhemos:
u = z,\qquad dv = \operatorname{senh}(z)\,dz.
Agora calculamos du e v:
Derivando u: du = dz (porque \dfrac{d}{dz}z = 1).
Integrando dv: precisamos da primitiva de \operatorname{senh}(z). Lembre que a derivada de \operatorname{cosh}(z) é \operatorname{senh}(z), logo
v = \operatorname{cosh}(z).
(Em palavras: \int \operatorname{senh}(z)\,dz = \operatorname{cosh}(z).)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int z \operatorname{senh}(z)\,dz = u v - \int v \, du.
Substituindo u,z,v,du:
\int z \operatorname{senh}(z)\,dz = z\operatorname{cosh}(z) - \int \operatorname{cosh}(z)\,dz.
Agora calculamos a integral restante. Sabemos que a derivada de \operatorname{senh}(z) é \operatorname{cosh}(z), então
\int \operatorname{cosh}(z)\,dz = \operatorname{senh}(z).
Portanto:
\int z \operatorname{senh}(z)\,dz = z\operatorname{cosh}(z) - \operatorname{senh}(z) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivamos o resultado para ver se voltamos à integranda.
Derivando z\operatorname{cosh}(z) - \operatorname{senh}(z):
usar regra do produto em z\operatorname{cosh}(z):
\frac{d}{dz}\big(z\operatorname{cosh}(z)\big) = 1\cdot\operatorname{cosh}(z) + z\cdot\operatorname{senh}(z).
Derivando -\operatorname{senh}(z) -\operatorname{cosh}(z). Somando:
\operatorname{cosh}(z) + z\operatorname{senh}(z) - \operatorname{cosh}(z) = z\operatorname{senh}(z),
que é exatamente a integranda. Está certo!

Resposta

z\operatorname{cosh}(z)-\operatorname{senh}(z)+C

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