Calcule as seguintes integrais:
\int z \operatorname{senh}(z) d z
\int z \operatorname{senh}(z) d z
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
(uma função polinomial simples) por
(a função seno hiperbólico). Precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) dessa função, mais a constante de integração.
Passo 2
Qual técnica usar? Quando a integranda é um produto de uma função polinomial (como
) com uma função cuja primitiva conhecemos (como
ou
), a ferramenta padrão é a fórmula de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
onde
e
são escolhas suas (devem ser funções de
tal que possas calcular
e
). Aqui
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
Vou explicar isso de forma bem simples: você separa a integranda em duas partes, escolhe
como a parte que fica mais simples ao derivar, e
como a parte que você sabe integrar facilmente. Depois aplica a fórmula acima.
Passo 3
Escolha das partes. Seguindo a regra prática (escolha
que simplifique ao derivar), escolhemos:
Agora calculamos
e
:
Derivando :
(porque
).
Integrando : precisamos da primitiva de
. Lembre que a derivada de
é
, logo
Derivando
Integrando
(Em palavras:
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Agora calculamos a integral restante. Sabemos que a derivada de
é
, então
Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivamos o resultado para ver se voltamos à integranda.
Derivando :
usar regra do produto em :
Derivando
usar regra do produto em
Derivando
dá
. Somando:
que é exatamente a integranda. Está certo!