Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} x 2^{x} d x
\int_{0}^{1} x 2^{x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar o valor numérico desta integral.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, a fórmula e a ideia por trás dela:
A fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são partes da integranda escolhidas de forma que
(derivada de
) e
(antiderivada de
) fiquem mais simples. Uma regra prática é escolher
como uma parte polinomial (que diminui ao derivar) e
como o resto.
No nosso caso escolhemos
Então
Precisamos agora de
, ou seja, uma antiderivada de
. Para isso lembre que a derivada de
é
, logo uma antiderivada é
Portanto
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora podemos tirar a constante
para fora da integral.
Passo 4
Calcule a integral remanescente:
Portanto uma antiderivada (primitiva) de
é
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando
:
Calcule
:
Calcule
:
Passo 6
Subtraindo:
Simplificando: