Calcule as seguintes integrais:

\int_{0}^{1} x 2^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: } x\,2^{x},\qquad \text{intervalo: }[0,1].
Objetivo: encontrar o valor numérico desta integral.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, a fórmula e a ideia por trás dela:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e dv são partes da integranda escolhidas de forma que du (derivada de u) e v (antiderivada de dv) fiquem mais simples. Uma regra prática é escolher u como uma parte polinomial (que diminui ao derivar) e dv como o resto.
No nosso caso escolhemos
u = x,\qquad dv = 2^{x}\,dx.
Então
du = dx.
Precisamos agora de v, ou seja, uma antiderivada de 2^{x}. Para isso lembre que a derivada de 2^{x} é 2^{x}\ln 2, logo uma antiderivada é
\int 2^{x}\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2}.
Portanto
v = \frac{2^{x}}{\ln 2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\,2^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot\frac{2^{x}}{\ln 2} - \int \frac{2^{x}}{\ln 2}\,dx.
Agora podemos tirar a constante \frac{1}{\ln 2} para fora da integral.

Passo 4

Calcule a integral remanescente:
\int \frac{2^{x}}{\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}\int 2^{x}\,dx = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{2^{x}}{\ln 2} = \frac{2^{x}}{(\ln 2)^{2}}.
Portanto uma antiderivada (primitiva) de x\,2^{x} é
F(x)=\frac{2^{x}}{\ln 2}\,x - \frac{2^{x}}{(\ln 2)^{2}} + C = \frac{2^{x}}{\ln 2}\left(x - \frac{1}{\ln 2}\right)+C.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando F:
\int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx = F(1)-F(0).
Calcule F(1):
F(1)=\frac{2^{1}}{\ln 2}\left(1-\frac{1}{\ln 2}\right) =\frac{2}{\ln 2}\left(1-\frac{1}{\ln 2}\right).
Calcule F(0):
F(0)=\frac{2^{0}}{\ln 2}\left(0-\frac{1}{\ln 2}\right) =\frac{1}{\ln 2}\left(-\frac{1}{\ln 2}\right) =-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}.

Passo 6

Subtraindo:
F(1)-F(0)=\frac{2}{\ln 2}\left(1-\frac{1}{\ln 2}\right)-\left(-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}\right).
Simplificando:
\frac{2}{\ln 2}-\frac{2}{(\ln 2)^{2}}+\frac{1}{(\ln 2)^{2}} =\frac{2}{\ln 2}-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\ln 2}-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}

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