Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}} \mathrm{dx}. Sugestão. Não se deixe intimidar. Comece fazendo u=\operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}}, d v= \mathrm{d} x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, seguido de uma substituição para avaliar o integral restante.

Passo 2

Escolhemos a integração por partes com
u = \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}, \quad dv = dx.
Então
v = x,
e precisamos de
du = \frac{d}{dx}\Bigl[\arcsin w\Bigr]\,dx \quad\text{com}\quad w = \sqrt{\frac{x}{x+1}}.
Calculamos w':
w = \Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{1/2} \;\Longrightarrow\; w' = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{-1/2}\cdot\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{3/2}}.
Como
\sqrt{1-w^2} = \sqrt{1-\frac{x}{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}},
vem
du = \frac{w'}{\sqrt{1-w^2}}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{3/2}}\;\Bigl(\sqrt{x+1}\Bigr)\,dx = \frac{dx}{2\sqrt{x}\,(x+1)}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
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\int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\;\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \int x\;\frac{dx}{2\sqrt{x}\,(x+1)}.
Simplificando o integrando:
x\;\frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)} = \frac{\sqrt{x}}{2(x+1)},
então resta avaliar
\frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx.

Passo 4

Para
I = \int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx,
fazemos t=\sqrt{x}, x=t^2, dx=2t\,dt. Então
I = \int \frac{t}{t^2+1}\,2t\,dt = \int \frac{2t^2}{t^2+1}\,dt = \int \Bigl(2 - \frac{2}{t^2+1}\Bigr)\,dt = 2t - 2\arctan t + C.
Voltando a x:
I = 2\sqrt{x} - 2\arctan\sqrt{x} + C.

Passo 5

Lembrando do fator \tfrac12 e combinando em
\int \arcsin\sqrt{\tfrac{x}{x+1}}\,dx = x\arcsin\sqrt{\tfrac{x}{x+1}} - \frac12\,I,
obtemos
\int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \bigl(\sqrt{x} - \arctan\sqrt{x}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \sqrt{x} + \arctan\!\bigl(\sqrt{x}\bigr) + C }.

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