Exemplo 16.3. Calcular \int \operatorname{arctg} x d x.
Solução. Faremos u=\operatorname{arctg} x, e d v=d x.
E então \mathrm{d} u=\frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, v=x. Daí,
\begin{aligned} \int \operatorname{arctg} x d x & =\int u d v=u v-\int v d u \\\ & =x \cdot \operatorname{arctg} x-\int x \cdot \frac{1}{1+x^{2}} d x \end{aligned}
Para calcular a integral \mathrm{J}=\int \mathrm{x} \cdot \frac{1}{1+\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~d} x, procedemos a uma mudança de variável:
Fazendo w=1+x^{2}, temos \mathrm{d} w=2 x \mathrm{~d} x, e então x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d} w. Daí,
\mathrm{J}=\int \mathrm{x} \cdot \frac{1}{1+\mathrm{x}^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{w} \mathrm{~d} w=\frac{1}{2} \ln |w|+\mathrm{C}=\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+\mathrm{C}
Portanto, \int \operatorname{arctg} x d x=x \cdot \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+C.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{arctg}x\,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, e depois uma substituição simples para finalizar.

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo
u = \operatorname{arctg}x, \quad dv = dx.
Então
du = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int \operatorname{arctg}x\,dx = x\cdot\operatorname{arctg}x \;-\;\int x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Chamemos
J = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular J, faça a substituição
w = 1 + x^{2}, \quad dw = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{1}{2}\,dw.
Logo
J = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\,dw = \frac{1}{2}\ln\bigl|w\bigr| + C = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

Passo 5

Voltando a nossa integral original, temos
\int \operatorname{arctg}x\,dx = x\,\operatorname{arctg}x \;-\; J = x\,\operatorname{arctg}x \;-\;\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\int \operatorname{arctg}x\,dx = x\,\operatorname{arctg}x - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

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