Usando a redução mostrada no problema 6 , calcule as integrais (considere a>0 ).
(a) \int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}.
(b) \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(\mathrm{a}^{2}-x^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, com a>0, as primitivas
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{(a^{2}-x^{2})^{2}}
usando a fórmula de redução para integrais do tipo \int dx/(x^{2}+a^{2})^{n} e para \int dx/(a^{2}-x^{2})^{n}.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a relação de redução
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}} = \frac{x}{2(n-1)\,a^{2}\,(x^{2}+a^{2})^{\,n-1}} +\frac{2n-3}{2(n-1)\,a^{2}} \int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{\,n-1}}.
Tomando n=2 obtém-se
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{x}{2\,a^{2}\,(x^{2}+a^{2})} +\frac{1}{2\,a^{2}} \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}.
Mas já sabemos que
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} =\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Logo
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{x}{2\,a^{2}\,(x^{2}+a^{2})} +\frac{1}{2\,a^{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Passo 3

Para a parte (b) existe uma relação de redução análoga:
\int \frac{dx}{(a^{2}-x^{2})^{n}} = \frac{x}{2(n-1)\,a^{2}\,(a^{2}-x^{2})^{\,n-1}} +\frac{2n-3}{2(n-1)\,a^{2}} \int \frac{dx}{(a^{2}-x^{2})^{\,n-1}}.
Com n=2 segue
\int \frac{dx}{(a^{2}-x^{2})^{2}} = \frac{x}{2\,a^{2}\,(a^{2}-x^{2})} +\frac{1}{2\,a^{2}} \int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}.
E sabemos também que
\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}} =\frac{1}{2a}\ln\!\frac{a+x}{a-x}.
Portanto
\int \frac{dx}{(a^{2}-x^{2})^{2}} = \frac{x}{2\,a^{2}\,(a^{2}-x^{2})} +\frac{1}{4\,a^{3}}\ln\!\frac{a+x}{a-x} + C.

Resposta

(a) \displaystyle \int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{x}{2\,a^{2}\,(x^{2}+a^{2})} +\frac{1}{2\,a^{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)+C.
(b) \displaystyle \int \frac{dx}{(a^{2}-x^{2})^{2}} = \frac{x}{2\,a^{2}\,(a^{2}-x^{2})} +\frac{1}{4\,a^{3}}\ln\!\frac{a+x}{a-x}+C.

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