Dada a função f(x)=x^{3}, encontre \frac{d x}{d y} quando y=8.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3 e define y = f(x). Queremos encontrar \frac{dx}{dy} quando y=8. Para isso, vamos usar a regra da derivada inversa: se y = f(x) e f é diferenciável, então
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dy}{dx}}.

Passo 2

Calculamos primeiro \displaystyle\frac{dy}{dx}. Como y = x^3, aplicamos a regra do poder:
\frac{dy}{dx} = 3x^2.

Passo 3

Precisamos avaliar \frac{dx}{dy} em y=8. Para isso, achamos o x que satisfaz x^3 = 8. Logo,
x = \sqrt[\,3]{8} = 2.

Passo 4

Agora usamos a relação inversa:
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3x^2}
e substituímos x=2:
\frac{dx}{dy}\Big|_{y=8} = \frac{1}{3\cdot(2)^2} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{12} quando y=8.

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