Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Deseja-se uma primitiva (ou a integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Não há limites de integração, então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Idéia para resolver (motivação didática): quando vemos uma composição do tipo
multiplicada por
, costuma funcionar bem uma mudança de variável que transforme a parte interna da composição em uma nova variável. Vamos tentar a substituição
Expliquei a escolha: a função dentro do seno é
, então trocar essa expressão por
pode simplificar a integral para uma integral direta em
.
Passo 3
Calcular o diferencial associado à substituição: derivando
em relação a
obtemos
Isto significa que
Observação didática: esse passo é a aplicação elementar da regra da diferenciação; sempre que fizer
você calcula
e resolve
ou a combinação necessária.
Passo 4
Substituir na integral original: trocando
por
e
por
, a integral fica
Passo 5
Calcular a integral em
: a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Portanto
Didaticamente: lembrar a tabela básica de integrais
.
Passo 6
Voltar à variável original substituindo
:
Verificação rápida (útil na prova): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando — logo a primitiva está correta.