Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}(\cos (x)) \cdot \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{sen}(\cos(x))\cdot \operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(\cos(x))\cdot \operatorname{sen}(x).
  • Deseja-se uma primitiva (ou a integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(\cos(x))\cdot \operatorname{sen}(x).
  • Não há limites de integração, então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Idéia para resolver (motivação didática): quando vemos uma composição do tipo \operatorname{sen}(\cos(x)) multiplicada por \operatorname{sen}(x), costuma funcionar bem uma mudança de variável que transforme a parte interna da composição em uma nova variável. Vamos tentar a substituição
u=\cos(x).
Expliquei a escolha: a função dentro do seno é \cos(x), então trocar essa expressão por u pode simplificar a integral para uma integral direta em u.

Passo 3

Calcular o diferencial associado à substituição: derivando u=\cos(x) em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=-\operatorname{sen}(x).
Isto significa que
du = -\operatorname{sen}(x)\,dx \quad\text{ou}\quad \operatorname{sen}(x)\,dx = -du.
Observação didática: esse passo é a aplicação elementar da regra da diferenciação; sempre que fizer u=g(x) você calcula du=g'(x)\,dx e resolve dx ou a combinação necessária.

Passo 4

Substituir na integral original: trocando \cos(x) por u e \operatorname{sen}(x)\,dx por -du, a integral fica
\int \operatorname{sen}(\cos(x))\cdot \operatorname{sen}(x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,(-du) = -\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u: a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u), porque a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u). Portanto
-\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = \cos(u) + C.
Didaticamente: lembrar a tabela básica de integrais \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.

Passo 6

Voltar à variável original substituindo u=\cos(x):
\cos(u) + C = \cos(\cos(x)) + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando F(x)=\cos(\cos(x)) usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\operatorname{sen}(\cos(x))\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr)=\operatorname{sen}(\cos(x))\operatorname{sen}(x),
que é exatamente o integrando — logo a primitiva está correta.

Resposta

\cos(\cos(x))+C

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