Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{\cos (-2 x)}{\sqrt[3]{(9-\operatorname{sen}(-2 x))^{7}}} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{\cos(-2x)}{\sqrt[3]{\bigl(9-\sin(-2x)\bigr)^{7}}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais (apenas o que o enunciado apresenta):
  • A integranda é \dfrac{\cos(-2x)}{\sqrt[3]{(9-\sin(-2x))^{7}}}.
  • Trata-se de uma primitiva indefinida (ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja a integranda).
  • As funções trigonométricas aparecem com argumento -2x: \cos(-2x) e \sin(-2x).

Passo 2

Identificação de uma substituição conveniente (sem resolver ainda): note que o denominador envolve \bigl(9-\sin(-2x)\bigr)^{7/3}. Uma escolha natural é definir uma nova variável que seja exatamente essa expressão dentro da potência. Então proponho a substituição
u = 9 - \sin(-2x).
Vou agora usar a regra da cadeia para obter du em função de dx. Lembre-se da regra da cadeia: se u = g(x) então du = g'(x)\,dx.

Passo 3

Calcular du usando derivadas e a regra da cadeia:
  • Primeiro, a derivada de \sin(-2x) em relação a x é
\frac{d}{dx}\sin(-2x)=\cos(-2x)\cdot\frac{d}{dx}(-2x)=\cos(-2x)\cdot(-2)=-2\cos(-2x).
  • Como u=9-\sin(-2x), tem-se
\frac{du}{dx} = -\frac{d}{dx}\sin(-2x) = -\bigl(-2\cos(-2x)\bigr)=2\cos(-2x).
Portanto
du = 2\cos(-2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(-2x)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevendo a integranda em termos de u: escrevemos o denominador como potência racional:
\sqrt[3]{\bigl(9-\sin(-2x)\bigr)^{7}}=\bigl(9-\sin(-2x)\bigr)^{7/3}=u^{7/3}.
Substituindo \cos(-2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\,du e o denominador por u^{7/3}, a integral vira
\int \frac{\cos(-2x)}{\bigl(9-\sin(-2x)\bigr)^{7/3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{7/3}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-7/3}\,du.

Passo 5

Aplicar a regra de potência para integrar em u: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{7}{3}, então n+1=-\tfrac{7}{3}+1=-\tfrac{4}{3}. Assim
\frac{1}{2}\int u^{-7/3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-4/3}}{-4/3}+C = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)u^{-4/3}+C = -\frac{3}{8}\,u^{-4/3}+C.

Passo 6

Voltar à variável x substituindo u=9-\sin(-2x). Além disso podemos simplificar usando a paridade das funções trigonométricas: \sin(-2x)=-\sin(2x). Portanto
u = 9-\sin(-2x) = 9 - \bigl(-\sin(2x)\bigr)=9+\sin(2x).
Logo a primitiva encontrada é
-\frac{3}{8}\bigl(9+\sin(2x)\bigr)^{-4/3}+C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, só para segurança): derivando a resposta -\tfrac{3}{8}(9+\sin(2x))^{-4/3} usando a regra da cadeia obtém-se exatamente a integranda original (a conta confirma o fator 2 vindo da derivada de \sin(2x) e o fator -4/3 da potência, que juntos produzem o coeficiente que cancela para ficar com \cos(-2x) no numerador), então a solução está correta.

Resposta

-\dfrac{3}{8}\bigl(9+\sin(2x)\bigr)^{-4/3}+C

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