Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais (apenas o que o enunciado apresenta):
- A integranda é
. - Trata-se de uma primitiva indefinida (ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja a integranda).
- As funções trigonométricas aparecem com argumento
: e .
Passo 2
Identificação de uma substituição conveniente (sem resolver ainda): note que o denominador envolve
. Uma escolha natural é definir uma nova variável que seja exatamente essa expressão dentro da potência. Então proponho a substituição
Vou agora usar a regra da cadeia para obter
em função de
. Lembre-se da regra da cadeia: se
então
.
Passo 3
Calcular
usando derivadas e a regra da cadeia:
- Primeiro, a derivada de
em relação a é
- Como
, tem-se
Portanto
Passo 4
Reescrevendo a integranda em termos de
: escrevemos o denominador como potência racional:
Substituindo
e o denominador por
, a integral vira
Passo 5
Aplicar a regra de potência para integrar em
: para
,
Aqui
, então
. Assim
Passo 6
Voltar à variável
substituindo
. Além disso podemos simplificar usando a paridade das funções trigonométricas:
. Portanto
Logo a primitiva encontrada é
Passo 7
Checagem rápida (opcional, só para segurança): derivando a resposta
usando a regra da cadeia obtém-se exatamente a integranda original (a conta confirma o fator
vindo da derivada de
e o fator
da potência, que juntos produzem o coeficiente que cancela para ficar com
no numerador), então a solução está correta.