Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}\left(\frac{2 x}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \sin\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas e, em particular, uso de substituição para eliminar a composição linear no argumento do seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{2x}{3},
de modo que o integrando passe a ser \sin(u).

Passo 3

Calculamos o diferencial de u:
du = \frac{2}{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{3}{2}\,du.

Passo 4

Substituindo em \int \sin\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr)\,dx obtemos
\int \sin(u)\,\frac{3}{2}\,du = \frac{3}{2}\int \sin(u)\,du.
Como \int \sin(u)\,du=-\cos(u), segue que
\frac{3}{2}\int \sin(u)\,du = -\frac{3}{2}\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u=\tfrac{2x}{3}, concluímos
\int \sin\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr)\,dx = -\frac{3}{2}\cos\!\Bigl(\tfrac{2x}{3}\Bigr) + C.

Resposta

-\tfrac{3}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr) + C

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