Calcule as seguintes integrais:
$\int \operatorname{sen}^{2} x \cos 2 x dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{2}x\;\cos 2x\;dx.
Este é um problema de integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades de ângulo duplo e redução de potência para reescrever o integrando em termos mais simples.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \sin^{2}x\;\cos 2x\;dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,\cos 2x\;dx = \frac{1}{2}\int \bigl(1 - \cos 2x\bigr)\cos 2x\;dx.

Passo 3

Expandindo o produto dentro da integral, temos
\bigl(1 - \cos 2x\bigr)\cos 2x = \cos 2x - \cos^{2}2x.
Logo,
\frac{1}{2}\int \bigl(\cos 2x - \cos^{2}2x\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos 2x\;dx \;-\;\frac{1}{2}\int \cos^{2}2x\;dx.
Para \cos^{2}2x usamos outra redução de potência:
\cos^{2}2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}.

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente:
\int \cos 2x\;dx = \frac{1}{2}\sin 2x + C_{1}.
\int \cos^{2}2x\;dx = \int \frac{1 + \cos 4x}{2}\;dx = \frac{1}{2}\int 1\;dx + \frac{1}{2}\int \cos 4x\;dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 4x}{4} + C_{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8} + C_{2}.

Passo 5

Voltando à expressão original e reunindo os termos, temos
\frac{1}{2}\int \cos 2x\;dx \;-\;\frac{1}{2}\int \cos^{2}2x\;dx = \frac{1}{2}\,\Bigl(\tfrac{1}{2}\sin 2x\Bigr) \;-\;\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\sin 4x}{8}\Bigr)+C.
Isso dá
\frac{1}{4}\sin 2x -\frac{1}{4}x -\frac{1}{16}\sin 4x + C.

Resposta

\boxed{\int \sin^{2}x\;\cos 2x\;dx = \frac{1}{4}\sin 2x \;-\;\frac{1}{4}x \;-\;\frac{1}{16}\sin 4x + C.}

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