Dada a funcão
,
(a) Encontre os ports críticos de
;
(b) Classifique - os.
(a) Encontre os ports críticos de
(b) Classifique - os.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: (a) encontrar os pontos críticos; (b) classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso usaremos derivadas parciais e o teste da Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
Fatorando cada uma:
Passo 3
Das equações fatoradas seguem-se dois tipos de caso em cada uma:
ou
, e
ou
.
- Se
, então dá ou , gerando e . - Se
, então dá ou , gerando e . - Se
e , resolvemos o sistema
que leva a
.
Logo, os pontos críticos são
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
Assim
Passo 5
Avaliando em cada ponto crítico:
Para :
Para
logo ponto de sela.
Para :
Para
logo ponto de sela.
Para : mesmo cálculo dá
, ponto de sela.
Para :
Para
Para
logo máximo local.