Dada a funcão f(x, y)=108 x y-2 x^{2} y-2 x y^{2},
(a) Encontre os ports críticos de f(x, y);
(b) Classifique - os.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=108\,x\,y-2\,x^{2}y-2\,x\,y^{2}
e pede: (a) encontrar os pontos críticos; (b) classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso usaremos derivadas parciais e o teste da Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=108\,y-4\,x\,y-2\,y^2, \qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=108\,x-2\,x^2-4\,x\,y.
Fatorando cada uma:
f_x=y\,(108-4x-2y)=0, \qquad f_y=x\,(108-2x-4y)=0.

Passo 3

Das equações fatoradas seguem-se dois tipos de caso em cada uma: y=0 ou 108-4x-2y=0, e x=0 ou 108-2x-4y=0.
  1. Se x=0, então f_x=y(108-2y)=0 y=0 ou y=54, gerando (0,0) e (0,54).
  2. Se y=0, então f_y=x(108-2x)=0 x=0 ou x=54, gerando (0,0) e (54,0).
  3. Se x\neq0 e y\neq0, resolvemos o sistema
108-4x-2y=0, \qquad 108-2x-4y=0
que leva a x=y=18.
Logo, os pontos críticos são
(0,0),\quad (54,0),\quad (0,54),\quad (18,18).

Passo 4

Para classificar usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
f_{xx}=-4y, \quad f_{yy}=-4x, \quad f_{xy}=108-4x-4y.
Assim
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^2 =16\,x\,y-\bigl(108-4x-4y\bigr)^2.

Passo 5

Avaliando em cada ponto crítico:
Para (0,0):
D=0-(108)^2<0
logo ponto de sela.
Para (54,0):
D=0-\bigl(108-216\bigr)^2=-(\\ -108)^2<0
logo ponto de sela.
Para (0,54): mesmo cálculo dá D<0, ponto de sela.
Para (18,18):
D=16\cdot18\cdot18-(108-72-72)^2=5184-1296=3888>0, \quad f_{xx}=-4\cdot18=-72<0,
logo máximo local.

Resposta

(0,0): ponto de sela
(54,0): ponto de sela
(0,54): ponto de sela
(18,18): máximo local

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