Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}^{3}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{3}(3x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potência ímpar de seno. Vamos usar a identidade
\sin^{3}u = (1 - \cos^{2}u)\,\sin u
e depois fazer substituições para reduzir a integral.

Passo 2

Definimos u = 3x. Então
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo em \int \sin^{3}(3x)\,dx e usando \sin^{3}u=(1-\cos^{2}u)\sin u, fica
\int \sin^{3}(3x)\,dx = \int (1-\cos^{2}u)\,\sin u\;\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int (1-\cos^{2}u)\,\sin u\,du.

Passo 3

Agora fazemos a segunda substituição
t = \cos u \quad\Longrightarrow\quad dt = -\,\sin u\,du \quad\Longrightarrow\quad \sin u\,du = -\,dt.
Logo
\frac{1}{3}\int(1-\cos^{2}u)\,\sin u\,du = \frac{1}{3}\int(1 - t^{2})(-\,dt) = -\frac{1}{3}\int(1 - t^{2})\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral em t:
\int(1 - t^{2})\,dt = \int 1\,dt - \int t^{2}\,dt = t - \frac{t^{3}}{3}.
Portanto
-\frac{1}{3}\int(1 - t^{2})\,dt = -\frac{1}{3}\Bigl(t - \frac{t^{3}}{3}\Bigr) = -\frac{t}{3} + \frac{t^{3}}{9} + C.

Passo 5

Retornando às variáveis originais, t=\cos u e u=3x, obtemos
-\frac{1}{3}\cos u + \frac{1}{9}\cos^{3}u + C \;=\; -\frac{1}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\cos^{3}(3x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \sin^{3}(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos(3x) \;+\;\tfrac{1}{9}\cos^{3}(3x) + C }.

Exercícios relacionados