Enunciado: Determine o ponto do plano π: x-3 y+2 z=0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
Pela desigualdade triangular, para qualquer ponto X,|d(X, P)-d(X, Q)| \leq d(P, Q). A igualdade (o valor máximo) ocorre quando X está na reta que passa por P e Q . Portanto, o ponto procurado é a interseção da reta PQ com o plano π.
P=(3,0,2), Q=(1,1,1)
  1. Reta PQ: Vetor diretor \vec{v}=Q-P=(-2,1,-1). Reta X=(3-2 t, t, 2-t).
  2. Interseção com π :
\begin{gathered} (3-2 t)-3(t)+2(2-t)=0 \\\\ 3-2 t-3 t+4-2 t=0 \Longrightarrow-7 t+7=0 \Longrightarrow t=1 \end{gathered}
  1. Ponto X: X=(3-2(1), 1,2-1)=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o ponto X do plano
\pi: x - 3y + 2z = 0
tal que o valor de
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|
seja o máximo possível, onde
P=(3,0,2) e Q=(1,1,1).
Esse problema usa a desigualdade triangular em espaço, que garante
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q),
com igualdade se e somente se X, P e Q forem colineares. Assim vamos achar a interseção da reta PQ com o plano \pi.

Passo 2

Para ter igualdade em
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q)
é preciso que X esteja na reta que passa por P e Q.

Passo 3

Parametrizamos a reta PQ. O vetor diretor é
\vec v = Q - P = (1,1,1) - (3,0,2) = (-2,\,1,\,-1).
Tomando parâmetro t, um ponto genérico é
X(t) = P + t\,\vec v = \bigl(3-2t,\;0+t,\;2-t\bigr).

Passo 4

Impondo que X(t) pertença ao plano \pi, substituímos na equação
x - 3y + 2z = 0:
(3-2t)\;-\;3\,(t)\;+\;2\,(2-t)\;=\;0.
Simplificando:
3-2t-3t+4-2t = 0 \quad\Longrightarrow\quad -7t+7=0 \quad\Longrightarrow\quad t=1.

Passo 5

Substituindo t=1 em X(t), obtemos
X(1)=\bigl(3-2\cdot1,\;1,\;2-1\bigr)=(1,1,1).

Resposta

O ponto do plano \pi que maximiza \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr| é
(1,1,1).

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