Enunciado: Determine o ponto do plano π: x-3 y+2 z=0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
Pela desigualdade triangular, para qualquer ponto X,|d(X, P)-d(X, Q)| \leq d(P, Q). A igualdade (o valor máximo) ocorre quando X está na reta que passa por P e Q . Portanto, o ponto procurado é a interseção da reta PQ com o plano π. P=(3,0,2), Q=(1,1,1)
tal que o valor de \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|
seja o máximo possível, onde P=(3,0,2) e Q=(1,1,1).
Esse problema usa a desigualdade triangular em espaço, que garante
\bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q),
com igualdade se e somente se X, P e Q forem colineares. Assim vamos achar a interseção da reta PQ com o plano \pi.
Passo 2
Para ter igualdade em \bigl|d(X,P)-d(X,Q)\bigr|\le d(P,Q)
é preciso que X esteja na reta que passa por P e Q.
Passo 3
Parametrizamos a reta PQ. O vetor diretor é
\vec v = Q - P = (1,1,1) - (3,0,2) = (-2,\,1,\,-1).
Tomando parâmetro t, um ponto genérico é
X(t) = P + t\,\vec v = \bigl(3-2t,\;0+t,\;2-t\bigr).
Passo 4
Impondo que X(t) pertença ao plano \pi, substituímos na equação