Calcule as seguintes integrais:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Não faço mais nada neste passo além de listar o que o problema fornece e o que ele pede.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (aula rápida de técnica):
Quando numa integral trigonométrica uma das potências de ou
é ímpar, uma técnica muito prática é “separar” um fator dessa função ímpar e usar a substituição
(a outra função). Aqui a potência de
é ímpar (
), mas também podemos separar um fator de
e usar
porque
. Vou explicar a ferramenta de substituição: se fizermos
então
e a integral se transforma em uma integral em
. Também precisamos transformar os limites via
avaliado nos limites de
.
Quando numa integral trigonométrica uma das potências de
Passo 3
Aplicando a ideia ao integrando:
Escrevo e uso a identidade
. Assim
Escrevo
Faço a substituição
. Então
. Transformo os limites: quando
temos
; quando
temos
. Portanto a integral vira
Passo 4
Simplifico o integrando em
e trato os limites:
Expando :
Expando
Logo
Troco a ordem dos limites para ficar na forma padrão
; isso troca o sinal:
Passo 5
Observação sobre paridade (aula curta sobre função ímpar/par):
Uma função é ímpar se
. As potências
e
são ímpares, portanto
também é uma função ímpar (diferença de ímpares é ímpar). Para qualquer função ímpar
,
Uma função
porque as áreas à esquerda e à direita se cancelam (pode-se ver trocando variável
). Aplicando isso aqui:
Passo 6
Concluo o valor da integral original usando o resultado do passo anterior:
Pronto — deu zero. Isso era de esperar: integrando uma função que, via substituição, virou uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, obtemos cancelamento.