Calcule as seguintes integrais:
\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \operatorname{sen}^{5}(x) \cos ^{3}(x) d x,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \sin^{5}(x)\cos^{3}(x)\,dx.
Informações dadas:
\text{limites: } x=\pi/2 \text{ até } x=3\pi/2,é
\text{integrando: } \sin^{5}(x)\cos^{3}(x).
Não faço mais nada neste passo além de listar o que o problema fornece e o que ele pede.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (aula rápida de técnica):
Quando numa integral trigonométrica uma das potências de \sin ou \cos é ímpar, uma técnica muito prática é “separar” um fator dessa função ímpar e usar a substituição u= (a outra função). Aqui a potência de \cos é ímpar ( 3), mas também podemos separar um fator de \cos e usar u=\sin x porque du=\cos x\,dx. Vou explicar a ferramenta de substituição: se fizermos u=g(x) então du=g'(x)\,dx e a integral se transforma em uma integral em u. Também precisamos transformar os limites via u=g(x) avaliado nos limites de x.

Passo 3

Aplicando a ideia ao integrando:
Escrevo \cos^{3}x=\cos^{2}x\cdot\cos x e uso a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Assim
\sin^{5}x\cos^{3}x=\sin^{5}x(1-\sin^{2}x)\cos x.
Faço a substituição \,u=\sin x. Então \,du=\cos x\,dx. Transformo os limites: quando x=\pi/2 temos u=\sin(\pi/2)=1; quando x=3\pi/2 temos u=\sin(3\pi/2)=-1. Portanto a integral vira
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \sin^{5}x\cos^{3}x\,dx = \int_{1}^{-1} u^{5}(1-u^{2})\,du.

Passo 4

Simplifico o integrando em u e trato os limites:
Expando u^{5}(1-u^{2}):
u^{5}(1-u^{2})=u^{5}-u^{7}.
Logo
\int_{1}^{-1} u^{5}(1-u^{2})\,du = \int_{1}^{-1} (u^{5}-u^{7})\,du.
Troco a ordem dos limites para ficar na forma padrão [-1,1]; isso troca o sinal:
\int_{1}^{-1} (u^{5}-u^{7})\,du = -\int_{-1}^{1} (u^{5}-u^{7})\,du.

Passo 5

Observação sobre paridade (aula curta sobre função ímpar/par):
Uma função f é ímpar se f(-u)=-f(u). As potências u^{5} e u^{7} são ímpares, portanto u^{5}-u^{7} também é uma função ímpar (diferença de ímpares é ímpar). Para qualquer função ímpar f,
\int_{-a}^{a} f(u)\,du = 0
porque as áreas à esquerda e à direita se cancelam (pode-se ver trocando variável t=-u). Aplicando isso aqui:
\int_{-1}^{1} (u^{5}-u^{7})\,du = 0.

Passo 6

Concluo o valor da integral original usando o resultado do passo anterior:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \sin^{5}x\cos^{3}x\,dx = -\int_{-1}^{1} (u^{5}-u^{7})\,du = -0 = 0.
Pronto — deu zero. Isso era de esperar: integrando uma função que, via substituição, virou uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, obtemos cancelamento.

Resposta

0

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