Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{sec} ^{4}(x) \tan ^{4}(x) d x,

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{4}(x)\,\tan^{4}(x)\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{integrando}=\operatorname{sec}^{4}(x)\,\tan^{4}(x).
Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos observar a estrutura do integrando para escolher uma estratégia prática. Duas observações importantes (fórmulas que vou usar e que você deve decorar porque aparecem muito em prova):
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x,
e a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x.
Essas duas relações são úteis porque se conseguimos um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx no integrando, podemos fazer a substituição u=\tan x e transformar a integral numa integral polinomial em u, que é bem mais simples.

Passo 3

Reescrevemos o integrando de modo a separar um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx para usar a substituição:
\operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{4}x = \tan^{4}x\cdot \operatorname{sec}^{2}x\cdot \operatorname{sec}^{2}x.
Agora escolhemos a substituição
u=\tan x \quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Substituindo um dos fatores \operatorname{sec}^{2}x\,dx por du e transformando o outro \operatorname{sec}^{2}x pela identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x, obtemos
\int \operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{4}x\,dx = \int \tan^{4}x\cdot \operatorname{sec}^{2}x\cdot \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u^{4}\cdot(1+u^{2})\,du.

Passo 4

Expandimos o integrando em u e integramos termo a termo (regra básica: \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1):
\int u^{4}(1+u^{2})\,du = \int (u^{4}+u^{6})\,du = \int u^{4}\,du + \int u^{6}\,du = \frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x usando u=\tan x:
\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7} + C = \frac{\tan^{5}x}{5} + \frac{\tan^{7}x}{7} + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação do resultado para checar): derivando
F(x)=\frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{\tan^{7}x}{7}
temos
F'(x)=\tan^{4}x\operatorname{sec}^{2}x + \tan^{6}x\operatorname{sec}^{2}x = \tan^{4}x\operatorname{sec}^{2}x(1+\tan^{2}x)=\tan^{4}x\operatorname{sec}^{2}x\operatorname{sec}^{2}x=\operatorname{sec}^{4}x\tan^{4}x,
que é exatamente o integrando. Está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{\tan^{7}x}{7}+C

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