Exemplo 1.36. Calcule \int \frac{1}{x^{2}+2 x+3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}+2x+3}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é completar o quadrado no denominador e depois aplicar a fórmula
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C.

Passo 2

Complete o quadrado em x^{2}+2x+3. Note que
x^{2}+2x+3 = (x+1)^{2} + 3 - 1 = (x+1)^{2} + 2.

Passo 3

Faça a troca de variável u = x+1. Então du = dx e a integral vira
\int \frac{1}{u^{2} + 2}\,du.
Repare que 2 = (\sqrt{2})^{2}.

Passo 4

Agora use a fórmula da integral de \tfrac{1}{u^{2}+a^{2}} com a = \sqrt{2}:
\int \frac{1}{u^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\,du = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{2}}\bigr) + C.
Voltando a x, temos u = x+1.

Resposta

\int \frac{1}{x^{2}+2x+3}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{2}}\bigr) + C.

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