Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes que já temos no enunciado:
Observação útil (só para deixar explícito o que vamos manipular):
. A partir daqui vamos construir a resolução passo a passo.
Passo 2
Vamos reescrever o integrando numa forma mais conveniente para cálculo:
Assim a integral fica
Agora precisamos escolher uma técnica de integração que lide bem com produto de uma potência de
e
. A técnica clássica para produtos onde aparece
é a integração por partes — vou explicar ela no próximo passo.
Passo 3
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra diz
Integrando ambos os lados em
obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui:
-
é a função que vamos diferenciar (então aparece ); -
é a função que vamos integrar para obter .
A escolha dee é estratégica: normalmente escolhe-se como a parte que fica mais simples ao diferenciar (por exemplo ) e como a parte que é fácil de integrar (por exemplo potências).
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso, faço a escolha natural
Agora calculo
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
: uso a regra da potência para integrais, que diz que para ,
No nosso caso
, então
Passo 5
Agora aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplifico o integrando da segunda integral:
Então
Já sabemos
, portanto
Multiplicando os fatores:
Posso escrever a primitiva de forma factorizada:
Passo 6
Agora passo da primitiva ao cálculo da integral definida. Usamos
avaliando em
e em
:
Calculo as potências necessárias:
Avalio
e
:
Lembro que
, então
.
Passo 7
Agora faço a subtração e simplifico passo a passo:
Distribuo e junto termos semelhantes:
Posso usar
para uma forma alternativa:
então outra forma conveniente da resposta é