Calcule as seguintes integrais:
\int_{1}^{4} \sqrt{\mathrm{t}} \ln (\mathrm{t}) \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \sqrt{\mathrm{t}}\,\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt}.
Informações importantes que já temos no enunciado:
\text{limites: } \mathrm{t}=1 \text{ até } \mathrm{t}=4, \qquad \text{integrando: } \sqrt{\mathrm{t}}\,\ln(\mathrm{t}).é
Observação útil (só para deixar explícito o que vamos manipular): \sqrt{\mathrm{t}} = \mathrm{t}^{1/2}. A partir daqui vamos construir a resolução passo a passo.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando numa forma mais conveniente para cálculo:
\sqrt{\mathrm{t}}\,\ln(\mathrm{t}) = \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t}).
Assim a integral fica
\int_{1}^{4} \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt}.
Agora precisamos escolher uma técnica de integração que lide bem com produto de uma potência de \mathrm{t} e \ln(\mathrm{t}). A técnica clássica para produtos onde aparece \ln é a integração por partes — vou explicar ela no próximo passo.

Passo 3

A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se u(\mathrm{t}) e v(\mathrm{t}) são funções diferenciáveis, a regra diz
\frac{d}{d\mathrm{t}}\big(u(\mathrm{t})v(\mathrm{t})\big)=u'(\mathrm{t})v(\mathrm{t})+u(\mathrm{t})v'(\mathrm{t}).
Integrando ambos os lados em \mathrm{t} obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u(\mathrm{t})\,v'(\mathrm{t})\,\mathrm{dt}=u(\mathrm{t})v(\mathrm{t})-\int u'(\mathrm{t})v(\mathrm{t})\,\mathrm{dt}.
Aqui:
  • u(\mathrm{t}) é a função que vamos diferenciar (então aparece u'(\mathrm{t}));
  • v'(\mathrm{t}) é a função que vamos integrar para obter v(\mathrm{t}).
    A escolha de u e v' é estratégica: normalmente escolhe-se u como a parte que fica mais simples ao diferenciar (por exemplo \ln) e v' como a parte que é fácil de integrar (por exemplo potências).

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso, faço a escolha natural
u(\mathrm{t})=\ln(\mathrm{t}),\qquad v'(\mathrm{t})=\mathrm{t}^{1/2}.
Agora calculo u'(\mathrm{t}) e v(\mathrm{t}):
  • Derivada de \ln(\mathrm{t}):
u'(\mathrm{t})=\frac{d}{d\mathrm{t}}\ln(\mathrm{t})=\frac{1}{\mathrm{t}}.
  • Integral de \mathrm{t}^{1/2}: uso a regra da potência para integrais, que diz que para n\neq -1,
\int \mathrm{t}^{n}\,\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{t}^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=\tfrac{1}{2}, então
v(\mathrm{t})=\int \mathrm{t}^{1/2}\,\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{t}^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}\,\mathrm{t}^{3/2}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula de integração por partes:
\int \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt} = u(\mathrm{t})v(\mathrm{t})-\int u'(\mathrm{t})v(\mathrm{t})\,\mathrm{dt}.
Substituindo u,u',v:
\int \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt} = \ln(\mathrm{t})\cdot\frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2} - \int \frac{1}{\mathrm{t}}\cdot\frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}\,\mathrm{dt}.
Simplifico o integrando da segunda integral:
\frac{1}{\mathrm{t}}\cdot\frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}=\frac{2}{3}\mathrm{t}^{1/2}.
Então
\int \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt} = \frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}\ln(\mathrm{t}) - \frac{2}{3}\int \mathrm{t}^{1/2}\,\mathrm{dt}.
Já sabemos \int \mathrm{t}^{1/2}\,\mathrm{dt}=\frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}, portanto
\int \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt} = \frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}\ln(\mathrm{t}) - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}+C.
Multiplicando os fatores:
\int \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt} = \frac{2}{3}\mathrm{t}^{3/2}\ln(\mathrm{t}) - \frac{4}{9}\mathrm{t}^{3/2}+C.
Posso escrever a primitiva de forma factorizada:
F(\mathrm{t})=\mathrm{t}^{3/2}\!\left(\frac{2}{3}\ln(\mathrm{t})-\frac{4}{9}\right)+C.

Passo 6

Agora passo da primitiva ao cálculo da integral definida. Usamos F(\mathrm{t}) avaliando em 4 e em 1:
\int_{1}^{4} \mathrm{t}^{1/2}\ln(\mathrm{t})\,\mathrm{dt}=F(4)-F(1).
Calculo as potências necessárias:
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8,\qquad 1^{3/2}=1.
Avalio F(4) e F(1):
F(4)=8\!\left(\frac{2}{3}\ln(4)-\frac{4}{9}\right), \qquad F(1)=1\!\left(\frac{2}{3}\ln(1)-\frac{4}{9}\right).
Lembro que \ln(1)=0, então F(1)=-\dfrac{4}{9}.

Passo 7

Agora faço a subtração e simplifico passo a passo:
F(4)-F(1) =8\!\left(\frac{2}{3}\ln(4)-\frac{4}{9}\right)-\left(-\frac{4}{9}\right).
Distribuo e junto termos semelhantes:
=8\cdot\frac{2}{3}\ln(4)-8\cdot\frac{4}{9}+\frac{4}{9} =\frac{16}{3}\ln(4)-\frac{32}{9}+\frac{4}{9}.
=\frac{16}{3}\ln(4)-\frac{28}{9}.
Posso usar \ln(4)=2\ln(2) para uma forma alternativa:
\frac{16}{3}\ln(4)=\frac{16}{3}\cdot 2\ln(2)=\frac{32}{3}\ln(2),
então outra forma conveniente da resposta é
\frac{32}{3}\ln(2)-\frac{28}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}\ln(2)-\frac{28}{9}

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