Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de um polinômio
e de . - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Vamos começar identificando transformações que simplificam a expressão para integrar.
Passo 2
Estratégia: usar substituição para eliminar a composição
. A ideia básica da substituição é tomar uma nova variável
igual a uma função de
, de modo que a integral em
vire uma integral em
mais simples. Se fizermos
, então
.
Escolhendo
temos
Agora escrevemos
em termos de
e
. Observe que
Substituindo
obtemos
Também
. Portanto a integral original transforma-se em
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Esta é uma integral adequada para o método de integração por partes. Lembrete do método (fórmula): para funções
e
,
Aqui escolhemos:
Então
Aplicando a fórmula,
onde
é a constante de integração.
Voltando à nossa integral com o fator
,
Passo 4
Agora voltamos à variável
usando
. Substituindo,
Portanto uma primitiva da função dada é
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivar
deve retornar o integrando. Usando regra do produto e cadeia:
E
Somando as duas derivadas os termos
e
se cancelam, sobrando
que é exatamente o integrando. Verificação concluída.