Calcule as seguintes integrais:
\int x^{3} \cdot \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\cdot \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de um polinômio x^{3} e de \cos(x^{2}).
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{3}\cos(x^{2}).
    Vamos começar identificando transformações que simplificam a expressão para integrar.

Passo 2

Estratégia: usar substituição para eliminar a composição \cos(x^{2}). A ideia básica da substituição é tomar uma nova variável u igual a uma função de x, de modo que a integral em x vire uma integral em u mais simples. Se fizermos \;u=g(x)\;, então \;du=g'(x)\,dx\;.
Escolhendo
u=x^{2},
temos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Agora escrevemos x^{3}\,dx em termos de u e du. Observe que
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot\bigl(x\,dx\bigr).
Substituindo x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du obtemos
x^{3}\,dx = u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,u\,du.
Também \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)=\cos(u). Portanto a integral original transforma-se em
\int x^{3}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \frac{1}{2}\,u\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\int u\cos(u)\,du.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \int u\cos(u)\,du. Esta é uma integral adequada para o método de integração por partes. Lembrete do método (fórmula): para funções A(u) e B(u),
\int A(u)\,B'(u)\,du = A(u)B(u) - \int A'(u)B(u)\,du.
Aqui escolhemos:
A(u)=u \quad\text{e}\quad B'(u)=\cos(u).
Então
A'(u)=1 \quad\text{e}\quad B(u)=\sin(u).
Aplicando a fórmula,
\int u\cos(u)\,du = u\sin(u) - \int 1\cdot\sin(u)\,du = u\sin(u) - \bigl(-\cos(u)\bigr) = u\sin(u) + \cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.
Voltando à nossa integral com o fator \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int u\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl(u\sin(u) + \cos(u)\bigr) + C.

Passo 4

Agora voltamos à variável x usando u=x^{2}. Substituindo,
\frac{1}{2}\bigl(u\sin(u) + \cos(u)\bigr) + C = \frac{1}{2}\bigl(x^{2}\sin(x^{2}) + \cos(x^{2})\bigr) + C.
Portanto uma primitiva da função dada é
F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\sin(x^{2})+\frac{1}{2}\cos(x^{2})+C.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivar F(x) deve retornar o integrando. Usando regra do produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}\sin(x^{2})\right) = \frac{1}{2}\bigl(2x\sin(x^{2}) + x^{2}\cdot\cos(x^{2})\cdot 2x\bigr) = x\sin(x^{2}) + x^{3}\cos(x^{2}).
E
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\cos(x^{2})\right) = \frac{1}{2}\bigl(-\sin(x^{2})\cdot 2x\bigr) = -x\sin(x^{2}).
Somando as duas derivadas os termos x\sin(x^{2}) e -x\sin(x^{2}) se cancelam, sobrando
x^{3}\cos(x^{2}),
que é exatamente o integrando. Verificação concluída.

Resposta

\frac{1}{2}x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{1}{2}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)+C

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