Desenhe as regiões determinadas pelos conjuntos abaixo e calcule as suas áreas:
\{(x, y) \mid-1 \leq x \leq 1\right.\ e \left.x^{2}-1 \leq y \leq-x^{2}+1\right\

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado fornece o conjunto
\{(x,y)\mid -1 \le x \le 1 \text{ e } x^{2}-1 \le y \le -x^{2}+1\}.
  • As perguntas implícitas são:
    1. Desenhar (descrever) a região do plano determinada por essas desigualdades.
    2. Calcular a área dessa região.
  • Informações relevantes dadas:
    • Há uma restrição em x: -1 \le x \le 1.
    • Há duas curvas que limitam y: a curva inferior y = x^{2}-1 e a curva superior y = -x^{2}+1.
    • A região é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, com x no intervalo dado.

Passo 2

Identificar as curvas e descrever suas formas (isto ajuda a desenhar a região).
  • A curva y = x^{2}-1:
    • É uma parábola com concavidade para cima.
    • Vértice em (0,-1).
  • A curva y = -x^{2}+1:
    • É uma parábola com concavidade para baixo.
    • Vértice em (0,1).
  • O intervalo de x é -1 \le x \le 1, isto é, uma faixa vertical limitada pelos valores x=-1 e x=1.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (isto fixa os limites horizontais reais da região).
  • Igualando as duas expressões para y:
x^{2}-1 = -x^{2}+1.
  • Resolver:
x^{2}-1 = -x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1.
x = \pm 1.
  • Para x=\pm 1, o valor de y é
y = 1^{2}-1 = 0.
  • Portanto as curvas se intersectam em ( -1,0 ) e ( 1,0 ).

Passo 4

Descrever (em palavras, como se fosse o desenho) a região determinada pelas desigualdades.
  • Entre x=-1 e x=1 temos duas parábolas simétricas em relação ao eixo y.
  • Para cada x em [-1,1], y varia de y_{\text{inf}}=x^{2}-1 até y_{\text{sup}}=-x^{2}+1.
  • No centro ( x=0) as parábolas dão y_{\text{inf}}=-1 e y_{\text{sup}}=1, então a região é uma “fita” vertical entre essas duas parábolas, fechando nas extremidades em (\pm1,0).
  • Visualmente: uma região simétrica em torno do eixo y, limitada acima por uma parábola virada para baixo e abaixo por uma parábola virada para cima.

Passo 5

Escolher o método para calcular a área e explicar a fórmula que será usada (passo-a-passo didático).
  • Método escolhido: integração por secções verticais (tiras verticais), porque a região está dada por limites superiores e inferiores de y em função de x e o intervalo de x é explícito.
  • Fórmula básica: a área A de uma região entre duas curvas y=\text{top}(x) e y=\text{bottom}(x) no intervalo a\le x\le b é
A=\int_{a}^{b} \bigl(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\bigr)\,dx.
  • Aqui:
    • a=-1, b=1.
    • \text{top}(x) = -x^{2}+1.
    • \text{bottom}(x) = x^{2}-1.
  • Justificativa intuitiva: para cada x a altura da tira é \text{top}(x)-\text{bottom}(x); somando (integrando) essas alturas vezes a largura infinitesimal dx obtemos a área.

Passo 6

Montar a integral correspondente ao problema (mostrar a simplificação algébrica antes de integrar).
  • Substituindo as funções na fórmula:
A=\int_{-1}^{1}\bigl((-x^{2}+1)-(x^{2}-1)\bigr)\,dx.
  • Simplificar o integrando:
(-x^{2}+1)-(x^{2}-1)= -x^{2}+1 - x^{2} +1 = 2 - 2x^{2}.
  • Logo
A=\int_{-1}^{1} \bigl(2 - 2x^{2}\bigr)\,dx = 2\int_{-1}^{1}\bigl(1 - x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 7

Aproveitar simetria para simplificar o cálculo da integral (explicando por que é válido).
  • A função 1-x^{2} é par (isto é, 1-(-x)^{2}=1-x^{2}), então
\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx = 2\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx.
  • Substituindo na expressão de A:
A = 2\cdot 2\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx = 4\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx.
  • Usar simetria reduz trabalho e evita manipular sinais.

Passo 8

Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação).
  • Antiderivada de 1-x^{2}:
\int\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx = x - \frac{x^{3}}{3} + C.
  • Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx = \left[x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^{3}}{3}\right) - \left(0 - 0\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
  • Portanto
A = 4\cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}.

Passo 9

Interpretar o resultado e checar coerência (pequeno check rápido).
  • Resultado A=\dfrac{8}{3} é positivo, como deve ser.
  • Uma verificação alternativa (sem usar simetria): calcular \int_{-1}^{1}(2-2x^{2})\,dx.
    • Antiderivada de 2-2x^{2} é 2x - \tfrac{2x^{3}}{3}.
    • Avaliando de -1 a 1: \bigl(2\cdot1-\tfrac{2}{3}\bigr)-\bigl(2\cdot(-1)-\tfrac{2(-1)^{3}}{3}\bigr)=\bigl(2-\tfrac{2}{3}\bigr)-\bigl(-2+\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{4}{3}-\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)=\tfrac{8}{3}.
  • Ambos os caminhos dão \dfrac{8}{3}, confirmado.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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