Desenhe as regiões determinadas pelos conjuntos abaixo e calcule as suas áreas:
e
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado fornece o conjunto
- As perguntas implícitas são:
- Desenhar (descrever) a região do plano determinada por essas desigualdades.
- Calcular a área dessa região.
- Informações relevantes dadas:
- Há uma restrição em
: . - Há duas curvas que limitam
: a curva inferior e a curva superior . - A região é o conjunto de pontos entre essas duas curvas, com
no intervalo dado.
- Há uma restrição em
Passo 2
Identificar as curvas e descrever suas formas (isto ajuda a desenhar a região).
- A curva
: - É uma parábola com concavidade para cima.
- Vértice em
.
- A curva
: - É uma parábola com concavidade para baixo.
- Vértice em
.
- O intervalo de
é , isto é, uma faixa vertical limitada pelos valores e .
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (isto fixa os limites horizontais reais da região).
- Igualando as duas expressões para
:
- Resolver:
- Para
, o valor de é
- Portanto as curvas se intersectam em
e .
Passo 4
Descrever (em palavras, como se fosse o desenho) a região determinada pelas desigualdades.
- Entre
e temos duas parábolas simétricas em relação ao eixo . - Para cada
em , varia de até . - No centro (
) as parábolas dão e , então a região é uma “fita” vertical entre essas duas parábolas, fechando nas extremidades em . - Visualmente: uma região simétrica em torno do eixo
, limitada acima por uma parábola virada para baixo e abaixo por uma parábola virada para cima.
Passo 5
Escolher o método para calcular a área e explicar a fórmula que será usada (passo-a-passo didático).
- Método escolhido: integração por secções verticais (tiras verticais), porque a região está dada por limites superiores e inferiores de
em função de e o intervalo de é explícito. - Fórmula básica: a área
de uma região entre duas curvas e no intervalo é
- Aqui:
-
, . -
. -
.
-
- Justificativa intuitiva: para cada
a altura da tira é ; somando (integrando) essas alturas vezes a largura infinitesimal obtemos a área.
Passo 6
Montar a integral correspondente ao problema (mostrar a simplificação algébrica antes de integrar).
- Substituindo as funções na fórmula:
- Simplificar o integrando:
- Logo
Passo 7
Aproveitar simetria para simplificar o cálculo da integral (explicando por que é válido).
- A função
é par (isto é, ), então
- Substituindo na expressão de
:
- Usar simetria reduz trabalho e evita manipular sinais.
Passo 8
Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação).
- Antiderivada de
:
- Avaliar de
a :
- Portanto
Passo 9
Interpretar o resultado e checar coerência (pequeno check rápido).
- Resultado
é positivo, como deve ser. - Uma verificação alternativa (sem usar simetria): calcular
. - Antiderivada de
é . - Avaliando de
a : .
- Antiderivada de
- Ambos os caminhos dão
, confirmado.