Calcule as seguintes integrais.
\int e^{a x} \cos b x d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int e^{a x}\cos(b x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes aplicada duas vezes e a resolução de uma equação em I.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{a x}\cos(b x)\,dx.
Aplicamos integração por partes escolhendo
u = \cos(b x),\quad dv = e^{a x}\,dx,
então
du = -b\sin(b x)\,dx,\quad v = \frac{e^{a x}}{a}.
Dessa forma.
I = uv - \int v\,du = \frac{e^{a x}\cos(b x)}{a} + \frac{b}{a}\int e^{a x}\sin(b x)\,dx.
Denotamos
J = \int e^{a x}\sin(b x)\,dx.

Passo 3

Para calcular J, repetimos integração por partes com
u = \sin(b x),\quad dv = e^{a x}\,dx,
logo
du = b\cos(b x)\,dx,\quad v = \frac{e^{a x}}{a}.
Logo.
J = uv - \int v\,du = \frac{e^{a x}\sin(b x)}{a} - \frac{b}{a}\int e^{a x}\cos(b x)\,dx = \frac{e^{a x}\sin(b x)}{a} - \frac{b}{a}I.

Passo 4

Substituindo J na expressão de I.
I = \frac{e^{a x}\cos(b x)}{a} + \frac{b}{a}\Bigl(\frac{e^{a x}\sin(b x)}{a} - \frac{b}{a}I\Bigr).
Multiplicando por a^2 e agrupando os termos em I, obtemos
(a^2+b^2)\,I = e^{a x}\bigl(a\cos(b x)+b\sin(b x)\bigr).

Passo 5

Isolando I e acrescentando a constante de integração C, chegamos à forma final.

Resposta

\int e^{a x}\cos(b x)\,dx = \frac{e^{a x}\bigl(a\cos(b x)+b\sin(b x)\bigr)}{a^2+b^2} + C.

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