Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}} d x. Sugestão. Não se deixe intimidar. Comece fazendo u=\operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}}\,, d v=d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, e precisaremos também resolver uma integral racional envolvendo \sqrt{x}.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo
u = \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} \quad\text{e}\quad dv = dx.
Então v = x e
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \int x\;d\!\biggl(\operatorname{arcsen}\sqrt{\tfrac{x}{x+1}}\biggr).

Passo 3

Calculemos
\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{arcsen}\sqrt{\tfrac{x}{x+1}}\Bigr].
Defina t = \sqrt{\tfrac{x}{x+1}}. Então
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arcsen}(t)\bigr] = \frac{t'}{\sqrt{1-t^2}}.
Observamos 1-t^2 = 1 - \tfrac{x}{x+1} = \tfrac1{x+1}, logo \sqrt{1-t^2} = \tfrac1{\sqrt{x+1}}.
Por outro lado,
t = \bigl(\tfrac{x}{x+1}\bigr)^{\!1/2} \quad\Longrightarrow\quad t' = \frac1{2\,t}\,\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x}{x+1}\Bigr) = \frac1{2\,t}\;\frac{1}{(x+1)^2}.
Assim
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arcsen}(t)\bigr] = \frac{\tfrac1{2\,t\,(x+1)^2}}{\tfrac1{\sqrt{x+1}}} = \frac1{2\,t\,(x+1)^{3/2}} = \frac1{2\,(x+1)\,\sqrt{x}},
pois t\, (x+1)^{3/2}=\sqrt{x}\,(x+1).

Passo 4

Voltando à parte subtraída em partes, temos
\int x\,d\!\bigl[\operatorname{arcsen}(\cdots)\bigr] = \int x\;\frac{1}{2\,(x+1)\,\sqrt{x}}\;dx = \frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\;dx.
Portanto
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\tfrac{x}{x+1}}\,dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\tfrac{x}{x+1}} - \frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\;dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx, faça x=t^2, dx=2t\,dt. Então
\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = \int \frac{t}{t^2+1}\;2t\,dt = 2\int \frac{t^2}{t^2+1}\,dt = 2\int\Bigl(1 - \frac1{t^2+1}\Bigr)dt = 2t - 2\arctan t + C.
Voltando a x: t=\sqrt{x}, obtemos
\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = 2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x}) + C.

Passo 6

Substituindo esse resultado em \tfrac12\int\cdots,
\frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = \sqrt{x} - \arctan(\sqrt{x}) + C.
Logo a integral original fica
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\,\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \bigl(\sqrt{x} - \arctan(\sqrt{x})\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\,\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \sqrt{x} + \arctan(\sqrt{x}) + C }.

Exercícios relacionados