Calcule as seguintes integrais.
\int x \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \sin(3x)\,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, que aplica a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
para integrais que envolvem produto de funções.

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = \sin(3x)\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos(3x).

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes,
\int x \sin(3x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr)\,dx
ou seja
\int x \sin(3x)\,dx = -\tfrac{x\cos(3x)}{3} + \tfrac{1}{3}\int \cos(3x)\,dx.

Passo 4

Calculamos
\int \cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{3}\sin(3x),
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\int x \sin(3x)\,dx = -\tfrac{x\cos(3x)}{3} + \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{3}\sin(3x) + C = -\tfrac{x\cos(3x)}{3} + \tfrac{\sin(3x)}{9} + C.

Resposta

-\frac{x\cos(3x)}{3} + \frac{\sin(3x)}{9} + C

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