Calcule as seguintes integrais.
\int_{0}^{\pi / 2} e^{\operatorname{sen}(x)} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/2} e^{\sin(x)}\cos(x)\,dx.
Este é um caso típico de mudança de variável, pois aparece e^{\sin(x)} multiplicado por \cos(x), que é exatamente a derivada de \sin(x).

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \sin(x), \quad du = \cos(x)\,dx.
Quando x=0, temos u=\sin(0)=0. Quando x=\pi/2, temos u=\sin(\pi/2)=1. Assim a integral em x transforma-se em
\int_{0}^{\pi/2} e^{\sin(x)}\cos(x)\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = e^{u}\Big|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Resposta

e - 1

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