Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(3x)\,dx.
Esse tipo de integral requer a técnica de substituição para funções compostas, já que o argumento de \operatorname{sen} é uma expressão linear em x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x
de modo que
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo em \int \operatorname{sen}(3x)\,dx obtemos
\int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo
\frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C =-\frac{1}{3}\cos(u) + C.
Voltando à variável original x com u=3x, temos
-\frac{1}{3}\cos(3x) + C.

Resposta

\int \operatorname{sen}(3x)\,dx =-\frac{1}{3}\cos(3x) + C.

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