Calcule as seguintes integrais:
a) \int(x+1) \operatorname{sen} x d x.
b) \int x^{2} e^{-x} d x.
c) \int e^{2 x} \cos x d x.
d) \int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arcsen} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais: três indefinidas e uma definida. Vamos usar principalmente a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
além de tabular as derivações e integrais para casos repetidos, e para \int \arcsin x\,dx usar a primitivação direta conhecida.

Passo 2

Para a integral
\int (x+1)\sin x\,dx
faço u = x+1 e dv = \sin x\,dx. Então du = dx e v = -\cos x. Pela fórmula:
\int (x+1)\sin x\,dx = (x+1)(- \cos x) - \int (-\cos x)\,dx = - (x+1)\cos x + \int \cos x\,dx = - (x+1)\cos x + \sin x + C.

Passo 3

Para
\int x^2 e^{-x}\,dx
uso integração por partes em modo tabular. Defino
\begin{aligned} u = x^2,\quad & dv = e^{-x}dx,\\\ du = 2x\,dx,\quad & v = -e^{-x}. \end{aligned}
Então
\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x})(2x)\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
Faço novamente partes em \int x e^{-x}\,dx:
u = x,\\ dv=e^{-x}dx\\ \Longrightarrow\\ du=dx,\\ v=-e^{-x},
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
Voltando:
\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\bigl(-x e^{-x} - e^{-x}\bigr) + C = -e^{-x}\bigl(x^2 + 2x + 2\bigr) + C.

Passo 4

Para
\int e^{2x}\cos x\,dx
faço partes duas vezes. Seja
I = \int e^{2x}\cos x\,dx.
  1. u=e^{2x},\\ dv=\cos x\,dx\\ \Rightarrow\\ du=2e^{2x}dx,\\ v=\sin x, dá
I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx.
  1. Chamo J=\int e^{2x}\sin x\,dx e faço partes:
u=e^{2x},\\ dv=\sin x\,dx\\ \Rightarrow\\ du=2e^{2x}dx,\\ v=-\cos x,
J = -e^{2x}\cos x + 2\int e^{2x}\cos x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I.
Substituo em I:
I = e^{2x}\sin x - 2J = e^{2x}\sin x - 2\bigl(-e^{2x}\cos x + 2I\bigr) = e^{2x}\sin x + 2e^{2x}\cos x -4I.
Recolhendo I:
5I = e^{2x}\bigl(\sin x +2\cos x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \tfrac15 e^{2x}\bigl(\sin x +2\cos x\bigr) + C.

Passo 5

Para a integral definida
\int_{0}^{1/2} \arcsin x\,dx
uso a primitiva conhecida
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C.
Avalio de 0 a 1/2:
\Bigl[x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\Bigr]_{0}^{1/2} = \Bigl(\tfrac12\cdot \tfrac{\pi}{6} + \sqrt{1-\tfrac14}\Bigr) - \bigl(0\cdot0 + 1\bigr) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt3}{2} - 1.

Resposta

(a) - (x+1)\cos x + \sin x + C
(b) -e^{-x}\bigl(x^2 + 2x + 2\bigr) + C
(c) \displaystyle \frac{e^{2x}}{5}\bigl(\sin x + 2\cos x\bigr) + C
(d) \displaystyle \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt3}{2} - 1

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