Use as seguintes fórmulas dadas para calcular as integrais a seguir.
  • \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C.
  • \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen} \frac{x}{a}+C,|x|<a.
  • \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left|\frac{x}{a}\right|+C,|x|>a.
    \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+4} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+4}\,dx
que tem a forma padrão
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\!\biggl(\frac{x}{a}\biggr)+C.
Aqui vamos precisar reconhecer a^{2}=4, ou seja, a=2.

Passo 2

Usando a fórmula para a integral indefinida, obtemos
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx =\int \frac{1}{2^{2}+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr)+C.

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva nos limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+4}\,dx =\left[\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr)\right]_{0}^{2} =\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{arctg}(1)-\operatorname{arctg}(0)\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-0\Bigr) =\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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